Mostre que segmentos oblíquos, com projeções congruentes, são congruentes.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que dois segmentos oblíquos, cujas projeções sobre uma mesma reta são congruentes, são congruentes entre si. Dados relevantes (vou nomear os pontos para ficar claro):
  • Temos duas retas paralelas r e s.
  • Dois segmentos oblíquos \overline{AB} e \overline{CD} com A,C\in r e B,D\in s. Ou seja, cada segmento liga um ponto de r a um ponto de s.
  • As projeções ortogonais (perpendiculares) desses segmentos sobre a reta r são congruentes. Vou chamar as projeções de \overline{A B'} (projeção de \overline{AB} sobre r) e \overline{C D'} (projeção de \overline{CD} sobre r), e sabemos que \overline{A B'}\cong \overline{C D'}.
  • O que devemos provar: que \overline{AB}\cong \overline{CD}, isto é, |AB|=|CD|.

Passo 2

Expliquei o que significa projeção ortogonal e como vamos usar isso. Projeção ortogonal de um ponto X sobre uma reta r é o pé da perpendicular a r que passa por X. Se projetamos o ponto B\in s sobre r obtemos um ponto B'\in r tal que \overline{BB'} é perpendicular a r. O mesmo para D projetando para D'\in r. Assim, as projeções dos segmentos \overline{AB} e \overline{CD} sobre r são os segmentos \overline{A B'} e \overline{C D'}.

Passo 3

Introduzo a distância entre as retas paralelas. Como r e s são paralelas, a distância entre elas é a medida do segmento perpendicular comum, e é a mesma qualquer que seja o ponto escolhido. Chamo essa distância de h. Em símbolos:
h = \text{dist}(r,s)=|BB'|=|DD'|.
Aqui usei que B' é a projeção de B sobre r e D' é a projeção de D sobre r, então ambos os segmentos perpendiculares BB' e DD' têm comprimento h.

Passo 4

Desenho mentalmente (ou no papel): o segmento \overline{AB} com A\in r e B\in s forma um triângulo retângulo ao considerar o pé B' da perpendicular de B em r. Os vértices desse triângulo são A, B e B'. Nesse triângulo, \angle ABB' = 90^\circ. Logo, \overline{AB} é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos têm comprimentos h (o cateto perpendicular) e |A B'| (a projeção sobre r). O mesmo raciocínio vale para \overline{CD} com o triângulo formado por C, D, D'.

Passo 5

Aplico o Teorema de Pitágoras em cada um desses triângulos retângulos. Vou explicar o Teorema antes de usar: o Teorema de Pitágoras diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Se chamarmos de s a hipotenusa e de x,y os catetos, então
s^2 = x^2 + y^2.
Aqui isso é aplicável porque temos exatamente triângulos retângulos formados pelas hipotenusas \overline{AB} e \overline{CD}.

Passo 6

Escrevo a relação para \overline{AB}. Usando Pitágoras no triângulo retângulo A B B',
|AB|^2 = |A B'|^2 + |BB'|^2.
Substituindo os nomes que já definimos,
|AB|^2 = |A B'|^2 + h^2.

Passo 7

Faço o mesmo para \overline{CD}. No triângulo retângulo C D D',
|CD|^2 = |C D'|^2 + |DD'|^2.
Como |DD'|=h, isso fica
|CD|^2 = |C D'|^2 + h^2.

Passo 8

Uso a hipótese principal: as projeções são congruentes, ou seja,
|A B'| = |C D'|.
Chamo esse valor comum de p, isto é p=|A B'|=|C D'|.

Passo 9

Substituo p nas expressões dos passos anteriores. Temos
|AB|^2 = p^2 + h^2
e
|CD|^2 = p^2 + h^2.

Passo 10

Como as expressões à direita são iguais, concluímos que os quadrados dos comprimentos são iguais:
|AB|^2 = |CD|^2.
Como comprimentos são números não negativos, tomar raiz quadrada preserva a igualdade, portanto
|AB| = |CD|.

Passo 11

Interpretação final e intuição: geometricamente o que fizemos foi notar que qualquer segmento que liga duas retas paralelas tem sempre a mesma componente perpendicular (a distância h) e uma componente paralela dada pela projeção p. O comprimento do segmento é a hipotenusa do triângulo com catetos h e p, então depende apenas de h e p. Se h é o mesmo para os dois segmentos (porque ligam as mesmas paralelas) e p é igual por hipótese (projeções congruentes), então os segmentos têm o mesmo comprimento.

Resposta

|AB|=|CD|

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