Reduza à forma polar ou forma trigonométrica cada um dos números complexos dados:
\frac{1-i}{1+i}

Passo 1

O enunciado pede reduzir à forma polar (ou trigonométrica) o número complexo \displaystyle z=\frac{1 - i}{1 + i}.
Para isso vamos usar:
  1. A técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado para simplificar a divisão de complexos.
  2. A definição de forma trigonométrica z=r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr), em que r=|z| e \theta=\arg(z).

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de 1+i, que é 1-i:
z = \frac{1-i}{1+i}\,\frac{1-i}{1-i} = \frac{(1-i)^2}{(1+i)(1-i)}.
No denominador temos (1+i)(1-i)=1^2 - i^2=1-(-1)=2. No numerador,
(1-i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i -1 = -2i.
Logo,
z = \frac{-2i}{2} = -\,i.

Passo 3

Agora escrevemos z=-i em coordenadas polares. Primeiro o módulo:
r = \bigl|{-i}\bigr| = 1.
Depois o argumento \theta, sabendo que -i está no eixo imaginário negativo. O ângulo correspondente no intervalo principal (-\pi,\pi] é
\theta = -\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Montamos a forma trigonométrica usando r=1 e \theta=-\tfrac{\pi}{2}:
z = 1\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) + i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)\Bigr).

Resposta

\frac{1 - i}{1 + i} = \cos\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr) + i\,\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr).

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