Usando o método de eliminação de Gauss, resolva os seguintes sistemas lineares:
\left{ \begin{array}{ccc} 2 x+3 y+z & = & 11 \\ x+y+z & = & 6 \\ 5 x+2 y+3 z & = & 18 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear de três equações e três incógnitas: x, y e z, e pede para resolver usando eliminação de Gauss. Vamos montar a matriz aumentada, aplicar operações elementares de linha para triangularizar e depois realizar substituição regressiva para encontrar (x,y,z).

Passo 2

Representamos o sistema pela matriz aumentada
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 11\\\\ 1 & 1 & 1 & 6\\\\ 5 & 2 & 3 & 18 \end{array}\right]

Passo 3

Eliminamos o coeficiente de x nas linhas 2 e 3 usando operações sobre linhas: \text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - \tfrac12\,\text{R}_1 e \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \tfrac52\,\text{R}_1.
Isso produz
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 11\\\\ 0 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & -\tfrac{11}2 & \tfrac12 & -\tfrac{19}2 \end{array}\right]

Passo 4

Agora eliminamos o coeficiente de y na linha 3 usando \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - 11\,\text{R}_2.
O resultado é
\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 1 & 11\\\\ 0 & -\tfrac12 & \tfrac12 & \tfrac12\\\\ 0 & 0 & -5 & -15 \end{array}\right]

Passo 5

Com a matriz triangular superior, fazemos substituição regressiva:
Da linha 3 vem
-5z = -15\quad\Longrightarrow\quad z = 3.
Substituindo em linha 2:
-\tfrac12\,y + \tfrac12\cdot 3 = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12\,y + \tfrac32 = \tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad y = 2.
Finalmente, na linha 1:
2x + 3\cdot 2 + 1\cdot 3 = 11 \quad\Longrightarrow\quad 2x + 9 = 11 \quad\Longrightarrow\quad x = 1.

Resposta

x = 1 y = 2 z = 3

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