Os vetores \vec{a} e \vec{b} formam um ângulo de 150^{\circ}. Sabe-se que \|\vec{a}\|=\sqrt{3} \mathrm{e}\|\vec{b}\|=\sqrt{2}. Calcule:
\|\vec{a}+\vec{b}\|

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (já peguei tudo do enunciado):
  • Os vetores \vec{a} e \vec{b} formam um ângulo de 150^\circ.
  • \|\vec{a}\|=\sqrt{3}.
  • \|\vec{b}\|=\sqrt{2}.
O que é pedido:
  • Calcular \|\vec{a}+\vec{b}\|.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar (aula rápida):
  • O produto escalar entre dois vetores relaciona-se com o cosseno do ângulo entre eles: \vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{a} e \vec{b}.
  • A norma do somatório é dada pela identidade (que se obtém expandindo \|\vec{a}+\vec{b}\|^2=(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b})):
\|\vec{a}+\vec{b}\|^2=\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2+2\,\vec{a}\cdot\vec{b}.
Substituindo a expressão do produto escalar em termos do cosseno, obtemos a fórmula prática:
\|\vec{a}+\vec{b}\|^2=\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2+2\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta.
Explicando em palavras: para achar o comprimento do vetor soma, somam-se os quadrados das normas e adiciona-se duas vezes o produto das normas vezes o cosseno do ângulo entre eles. Se o cosseno for negativo (ângulo > 90^\circ), o termo reduz o valor final — isso mostra que vetores apontando “em sentidos opostos” diminuem a norma da soma.

Passo 3

Calcular o valor do cosseno do ângulo dado:
  • O ângulo é \theta=150^\circ.
  • Usando identidades trigonométricas: 150^\circ=180^\circ-30^\circ, então \cos(150^\circ)=-\cos(30^\circ).
  • E \cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Logo
\cos(150^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 4

Calcular \|\vec{a}\|^2 e \|\vec{b}\|^2 a partir das normas dadas:
\|\vec{a}\|^2=(\sqrt{3})^2=3, \qquad \|\vec{b}\|^2=(\sqrt{2})^2=2.

Passo 5

Calcular o termo misto 2\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta passo a passo:
  • Primeiro \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|=\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}=\sqrt{6}.
  • Multiplicando por 2: 2\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|=2\sqrt{6}.
  • Multiplicando por \cos(150^\circ)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}:
2\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos(150^\circ)=2\sqrt{6}\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-\sqrt{6}\,\sqrt{3}.
  • E \sqrt{6}\,\sqrt{3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}. Portanto o termo vale
2\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos(150^\circ)=-3\sqrt{2}.

Passo 6

Agora juntamos tudo na fórmula da norma ao quadrado:
\|\vec{a}+\vec{b}\|^2=\|\vec{a}\|^2+\|\vec{b}\|^2+2\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta =3+2-3\sqrt{2}=5-3\sqrt{2}.

Passo 7

Tomamos a raiz quadrada para obter a norma:
\|\vec{a}+\vec{b}\|=\sqrt{5-3\sqrt{2}}.
Se quiser uma noção numérica rápida: \sqrt{5-3\sqrt{2}}\approx0,871. Vai bem conferir o valor no rascunho da prova se quiser.

Resposta

\sqrt{5-3\sqrt{2}}

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