Os vetores
e
formam um ângulo de
. Sabe-se que
. Calcule:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (já peguei tudo do enunciado):
- Os vetores
e formam um ângulo de . -
. -
.
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar (aula rápida):
- O produto escalar entre dois vetores relaciona-se com o cosseno do ângulo entre eles:
, onde é o ângulo entre e . - A norma do somatório é dada pela identidade (que se obtém expandindo
):
Substituindo a expressão do produto escalar em termos do cosseno, obtemos a fórmula prática:
Explicando em palavras: para achar o comprimento do vetor soma, somam-se os quadrados das normas e adiciona-se duas vezes o produto das normas vezes o cosseno do ângulo entre eles. Se o cosseno for negativo (ângulo >
), o termo reduz o valor final — isso mostra que vetores apontando “em sentidos opostos” diminuem a norma da soma.
Passo 3
Calcular o valor do cosseno do ângulo dado:
- O ângulo é
. - Usando identidades trigonométricas:
, então . - E
. Logo
Passo 4
Calcular
e
a partir das normas dadas:
Passo 5
Calcular o termo misto
passo a passo:
- Primeiro
. - Multiplicando por 2:
. - Multiplicando por
:
- E
. Portanto o termo vale
Passo 6
Agora juntamos tudo na fórmula da norma ao quadrado:
Passo 7
Tomamos a raiz quadrada para obter a norma:
Se quiser uma noção numérica rápida:
. Vai bem conferir o valor no rascunho da prova se quiser.