Reduza as matrizes abaixo à forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das mesmas.
A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 3 \\\\ 1 & 0 & -1 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para levar
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 1 & 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}
à forma reduzida escalonada (RREF) usando eliminação de Gauss–Jordan, e então determinar o posto (rank) e a nulidade (nullity).

Passo 2

Usamos o primeiro pivô em a_{11}=1. Eliminamos a entrada abaixo na coluna 1:
R_2 \leftarrow R_2 - R_1
produz
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & -1 & -2 & -2\\\\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Na segunda coluna, escolhemos pivô em 1 que está na posição (3,2). Fazemos a troca
R_2 \leftrightarrow R_3
e obtemos
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 3\\\\ 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & -1 & -2 & -2 \end{pmatrix}.
Em seguida, zeramos acima e abaixo desse pivô:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2, \quad R_3 \leftarrow R_3 + R_2,
ficando
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

O resultado acima já está na forma reduzida escalonada (RREF), pois cada pivô é 1, cada coluna de pivô tem zeros em todas as outras posições, e todas as linhas nulas estão abaixo.

Passo 5

O número de pivôs (linhas não nulas) é o posto:
\text{rank}(A)=2.
Como A é 3\times4, o número de variáveis livres é 4-2=2. Portanto, a nulidade é
\text{nullity}(A)=2.

Resposta

A forma reduzida escalonada de A é
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 & 2\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},
o posto é 2 e a nulidade é 2.

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