Reduza as matrizes abaixo à forma reduzida escalonada e determine o posto e a nulidade das mesmas.
B=\left[\begin{array}{cc}1 & -4 \\\\ 3 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para reduzir a matriz
B = \begin{pmatrix}1 & -4 \\[6pt] 3 & 2\end{pmatrix}
à forma reduzida escalonada (RREF) usando eliminação de Gauss–Jordan, e em seguida determinar o posto (número de pivôs) e a nulidade (dimensão do núcleo), lembrando que nulidade = número de colunas − posto.]

Passo 2

Começamos com o pivô em R1C1, que já é 1. Eliminamos o elemento abaixo em R2C1 subtraindo 3 vezes a linha 1 da linha 2:
\text{R2}\leftarrow \text{R2} - 3\,\text{R1} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & -4\\\\ 3 & 2 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -4\\\\ 0 & 14 \end{pmatrix}.

Passo 3

Agora escolhemos o pivô em R2C2, que é 14, e normalizamos a linha 2 dividindo por 14:
\text{R2}\leftarrow \frac{1}{14}\,\text{R2} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & -4\\\\ 0 & 14 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & -4\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Eliminamos o elemento acima deste pivô em R1C2 somando 4 vezes a linha 2 à linha 1:
\text{R1}\leftarrow \text{R1} + 4\,\text{R2} \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix} 1 & -4\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Ficamos com a matriz identidade de ordem 2, portanto há dois pivôs. Assim,
posto (B)=2
e, como o número de colunas é 2, nulidade (B)=2-2=0.

Resposta

A forma reduzida escalonada de B é
\begin{pmatrix} 1 & 0\\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
O posto de B é 2 e a nulidade de B é 0.

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