Resolva, para x in R, as seguintes equações:
|x^2-3 x|=x-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação |x^2-3 x|=x-1 para x in R. Essa equação envolve valor absoluto, então vamos usar as propriedades dos valores absolutos para encontrar as soluções. Precisamos considerar os casos em que a expressão dentro do valor absoluto é positiva ou negativa e resolver cada caso separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar quando a expressão dentro do valor absoluto, x^2 - 3x, é maior ou igual a zero e quando é menor que zero. Isso nos ajudará a dividir a equação em dois casos.
Resolvendo x^2 - 3x >= 0:
x(x - 3) >= 0
As raízes são x = 0 e x = 3. Analisando o sinal dessa expressão nos intervalos determinados pelas raízes:
  • Para x < 0: a expressão é positiva.
  • Para 0 < x < 3: a expressão é negativa.
  • Para x > 3: a expressão é positiva.

Passo 3

Caso 1: Quando x^2 - 3x >= 0, ou seja, x <= 0 ou x >= 3. Nesse caso, a equação fica:
x^2 - 3x = x - 1
Vamos resolver essa equação:
x^2 - 3x - x + 1 = 0 x^2 - 4x + 1 = 0
Aplicando a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática ax^2 + bx + c = 0:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1, b = -4, c = 1:
x = 4 pm raiz16 - 42 x = 4 pm raiz122 x = 4 pm 2raiz32 x = 2 pm raiz3
Agora, verificamos quais dessas soluções estão nos intervalos x <= 0 ou x >= 3:
  • 2 + raiz3 approx 3.732, que está em x >= 3.
  • 2 - raiz3 approx 0.268, que está entre 0 e 3 e, portanto, não pertence a este caso.
Então, a única solução válida neste caso é x = 2 + raiz3.

Passo 4

Caso 2: Quando x^2 - 3x < 0, ou seja, 0 < x < 3. Nesse caso, a equação fica:
-(x^2 - 3x) = x - 1 - x^2 + 3x = x - 1
Vamos resolver essa equação:
- x^2 + 3x - x + 1 = 0 - x^2 + 2x + 1 = 0 x^2 - 2x - 1 = 0
Aplicando novamente a fórmula de Bhaskara:
x = 2 pm raiz4 + 42 x = 2 pm raiz82 x = 2 pm 2raiz22 x = 1 pm raiz2
Agora, verificamos quais dessas soluções estão no intervalo 0 < x < 3:
  • 1 + raiz2 approx 2.414, que está entre 0 e 3.
  • 1 - raiz2 approx -0.414, que não está neste intervalo.
Então, a única solução válida neste caso é x = 1 + raiz2.

Resposta

As soluções da equação |x^2-3 x|=x-1 são:
x = 2 + raiz3 e x = 1 + raiz2

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