Reduza as seguintes expressões booleanas à sua forma disjuntiva: (b) a\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right)^{\prime};

Passo 1

O enunciado pede para reduzir à forma disjuntiva a expressão dada. A expressão fornecida é:
a\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right)^{\prime}.
Queremos transformar essa expressão em forma disjuntiva, isto é, numa soma (OU) de termos que são produtos (E) de literais — por exemplo algo como x y + z w. Aqui só há as variáveis a e b.

Passo 2

Vou listar as identidades que vou usar e explicar cada uma de forma simples, pra você poder usar na prova sem medo:
  • Lei de De Morgan: (x+y)' = x'y',\qquad (xy)' = x' + y'.Explicação: o complemento de um OU é o E dos complementos; o complemento de um E é o OU dos complementos.
  • Dupla negação (complemento do complemento): (x')' = x.Explicação: inverter duas vezes volta ao original.
  • Idempotência: x x = x,\qquad x + x = x.Explicação: x E x continua sendo x; x OU x também é x.
  • Propriedade distributiva e associativa (usadas para reorganizar produtos e somas): x(yz) = (xy)z, \qquad x(y+z) = xy + xz.Explicação: dá pra agrupar e distribuir sem mudar o valor lógico.
  • Absorção (caso precise): x(xy)=xy,\qquad x + xy = x.Explicação: um termo absorve combinações redundantes.
Vou aplicar essas regras passo a passo.

Passo 3

Aplicar a lei de De Morgan ao complemento do parêntese \left(a^{\prime}+b^{\prime}\right)^{\prime}. Usando (x+y)'=x'y' e depois a dupla negação, temos:
\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right)^{\prime} = (a')'(b')' = a b.
Aqui usei que (a')' = a e (b')' = b.

Passo 4

Substituir o resultado na expressão original:
a\left(a^{\prime}+b^{\prime}\right)^{\prime} = a \cdot (a b).
Usar associatividade/commutatividade para escrever a(ab)= (a a) b.

Passo 5

Aplicar idempotência para simplificar a a = a. Assim:
(a a) b = a b.
Portanto a expressão reduzida é ab.

Resposta

ab

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