Simplifique e reduza as seguintes expressões booleanas à sua forma disjuntiva normal: (b) (a+b+c)\left(a^{\prime}+b+c\right);

Passo 1

O enunciado pede para simplificar e reduzir a expressão booleana à sua forma disjuntiva normal. A expressão dada é
(a+b+c)\left(a^{\prime}+b+c\right).
Vamos listar o que temos:
  • A expressão é um produto de duas somas (uma forma conjuntiva inicialmente).
  • Os símbolos significam: + é OU, justaposição (ou ausência de operador) seria E, e ^{\prime} é complemento/negação.
  • O objetivo: obter a forma disjuntiva normal (DNF), isto é, uma soma (OU) de produtos (ANDs) de literais.

Passo 2

Lembrete rápido das identidades booleanas que usarei (explicadinhas com carinho):
  • Lei distributiva (para expandir): (x+y)(u+v)=xu+xv+yu+yv. Aqui cada termo é um AND ou OR entre literais/subexpressões.
  • Lei do complemento: x x^{\prime}=0 (AND de uma variável com seu complemento é 0).
  • Idempotência: x+x=x.
  • Identidade de absorção/combinação: se aparecer X + X Y então X + X Y = X (pois X já cobre X Y).
  • Em booleano, 0 é elemento neutro para + (ou seja, x+0=x) e 1 para \cdot (mas não usamos 1 explicitamente aqui).

Passo 3

Para deixar a expansão mais clara, defino uma subexpressão:
X = b + c.
Então a expressão original fica
(a+X)\left(a^{\prime}+X\right).
Isso só é renomear para facilitar os passos seguintes — nada muda.

Passo 4

Agora aplico a distributiva para expandir o produto (a+X)(a^{\prime}+X). Usando a regra (p+q)(r+s)=pr+ps+qr+qs, obtemos:
(a+X)(a^{\prime}+X)=a a^{\prime} + aX + a^{\prime}X + XX.

Passo 5

Simplifico cada termo usando identidades:
  • Pelo complemento, a a^{\prime}=0.
  • Pelo idempotente, XX=X.
    Substituindo:
a a^{\prime} + aX + a^{\prime}X + XX = 0 + aX + a^{\prime}X + X.
Como 0 é neutro para +, isso vira
aX + a^{\prime}X + X.

Passo 6

Factorizo X (ou uso a propriedade distributiva inversa) no par aX + a^{\prime}X:
aX + a^{\prime}X = (a + a^{\prime})X.
Mas a + a^{\prime}=1 (uma variável OU seu complemento é 1). Então
(a + a^{\prime})X = 1\cdot X = X.
Substituindo de volta na soma:
aX + a^{\prime}X + X = X + X.

Passo 7

Pelo idempotente, X + X = X. Lembrando que X = b + c, concluímos
(a+b+c)\left(a^{\prime}+b+c\right)=b+c.

Passo 8

Verificação rápida intuitiva (opcional, só para confiança): a expressão diz "ou b ou c" aparece em ambas as somas; portanto qualquer vez que b ou c seja verdadeiro, o produto é verdadeiro. Se b e c são falsos, as duas somas viram a e a' e seu produto é a a' = 0. Então o valor total depende só de b ou c — consistentemente b+c.

Resposta

b+c

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