Simplifique e reduza as seguintes expressões booleanas à sua forma disjuntiva normal: (b)
;
Passo 1
O enunciado pede para simplificar e reduzir a expressão booleana à sua forma disjuntiva normal. A expressão dada é
Vamos listar o que temos:
- A expressão é um produto de duas somas (uma forma conjuntiva inicialmente).
- Os símbolos significam:
é OU, justaposição (ou ausência de operador) seria E, e é complemento/negação. - O objetivo: obter a forma disjuntiva normal (DNF), isto é, uma soma (OU) de produtos (ANDs) de literais.
Passo 2
Lembrete rápido das identidades booleanas que usarei (explicadinhas com carinho):
- Lei distributiva (para expandir):
. Aqui cada termo é um AND ou OR entre literais/subexpressões. - Lei do complemento:
(AND de uma variável com seu complemento é 0). - Idempotência:
. - Identidade de absorção/combinação: se aparecer
então (pois já cobre ). - Em booleano,
é elemento neutro para (ou seja, ) e para (mas não usamos explicitamente aqui).
Passo 3
Para deixar a expansão mais clara, defino uma subexpressão:
Então a expressão original fica
Isso só é renomear para facilitar os passos seguintes — nada muda.
Passo 4
Agora aplico a distributiva para expandir o produto
. Usando a regra
, obtemos:
Passo 5
Simplifico cada termo usando identidades:
- Pelo complemento,
. - Pelo idempotente,
.
Substituindo:
Como
é neutro para
, isso vira
Passo 6
Factorizo
(ou uso a propriedade distributiva inversa) no par
:
Mas
(uma variável OU seu complemento é 1). Então
Substituindo de volta na soma:
Passo 7
Pelo idempotente,
. Lembrando que
, concluímos
Passo 8
Verificação rápida intuitiva (opcional, só para confiança): a expressão diz "ou
ou
" aparece em ambas as somas; portanto qualquer vez que
ou
seja verdadeiro, o produto é verdadeiro. Se
e
são falsos, as duas somas viram
e
e seu produto é
. Então o valor total depende só de
ou
— consistentemente
.