Reduza a uma soma de quadrados as formas quadráticas abaixo:
q\left(x_{1}, x_{2}\right)=x_{1} x_{2}+x_{2}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a forma quadrática
q(x_{1},x_{2}) = x_{1}x_{2} + x_{2}^{2}
e pede para reduzi-la a uma soma de quadrados. Vamos usar o método de completar o quadrado em x_{2}.

Passo 2

Agrupamos os termos em x_{2} e completamos o quadrado:
x_{2}^{2} + x_{1}x_{2} = \Bigl(x_{2} + \tfrac{x_{1}}{2}\Bigr)^{2} - \Bigl(\tfrac{x_{1}}{2}\Bigr)^{2}.

Passo 3

Definimos a mudança de variáveis
y_{1} = x_{2} + \frac{x_{1}}{2}, \qquad y_{2} = \frac{x_{1}}{2}.
Substituindo na expressão de q, obtemos
q = y_{1}^{2} - y_{2}^{2}.

Resposta

q(x_{1},x_{2}) = y_{1}^{2} - y_{2}^{2}, \quad y_{1} = x_{2} + \frac{x_{1}}{2}, \quad y_{2} = \frac{x_{1}}{2}.

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