Determine a forma bilinear simétrica que dá origem à forma quadrática q\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+ x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}-x_{2} x_{3} de \mathbb{R}^{3}. Escreva a matriz da forma bilinear que você obteve, em relação à base canônica de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma forma bilinear simétrica B\colon\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}^3\to\mathbb{R} tal que
q(x_1,x_2,x_3)=B\bigl((x_1,x_2,x_3),(x_1,x_2,x_3)\bigr)
para
q(x_1,x_2,x_3)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-2x_{1}x_{2}+4x_{1}x_{3}-x_{2}x_{3}.
O que precisamos é achar a matriz simétrica A de B na base canônica, pois
q(x)=x^{T}Ax,\quad x=(x_1,x_2,x_3)^{T}.

Passo 2

Para uma forma bilinear simétrica com matriz A=(a_{ij}), vale
x^{T}Ax=\sum_{i=1}^{3}a_{ii}\,x_i^2+2\sum_{1\le i<j\le3}a_{ij}\,x_i x_j.
Assim, o coeficiente de x_i^2 em q é a_{ii}, e o coeficiente de x_i x_j (com i<j) em q é 2a_{ij}.

Passo 3

Comparando termo a termo em
q(x_1,x_2,x_3) =x_1^2+x_2^2+x_3^2 -2\,x_1x_2 +4\,x_1x_3 -1\,x_2x_3,
temos
a_{11}=1,\quad a_{22}=1,\quad a_{33}=1,
2a_{12}=-2\implies a_{12}=-1,
2a_{13}=4\implies a_{13}=2,
2a_{23}=-1\implies a_{23}=-\tfrac12.
Como A é simétrica, a_{21}=a_{12}, a_{31}=a_{13}, a_{32}=a_{23}.

Passo 4

Escrevendo a matriz A=(a_{ij}) na base canônica \{e_1,e_2,e_3\}, obtemos
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ -1 & 1 & -\tfrac12\\\\ 2 & -\tfrac12 & 1 \end{pmatrix}.

Resposta

\begin{pmatrix} 1 & -1 & 2\\\\ -1 & 1 & -\tfrac12\\\\ 2 & -\tfrac12 & 1 \end{pmatrix}.

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