Dada uma forma bilinear f \in B(V), prove que a forma bilinear g(u, v)=f(u, v)+f(v, u) é simétrica e a forma bilinear g(u, v)=f(u, v)-f(v, u) é anti-simétrica.

Passo 1

O enunciado parte de uma forma bilinear f:V\times V\to K, ou seja, f é linear em cada argumento. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. A forma g(u,v)=f(u,v)+f(v,u) é simétrica, isto é, g(u,v)=g(v,u).
  2. A forma g(u,v)=f(u,v)-f(v,u) é antissimétrica, isto é, g(u,v)=-\,g(v,u).

Passo 2

Considere primeiro
g(u,v)=f(u,v)+f(v,u).
Para ver que g é bilinear, use linearidade de f. Por exemplo, no primeiro argumento, para quaisquer escalares \alpha,\beta e vetores u_1,u_2,v:
\begin{aligned} g(\alpha u_1+\beta u_2,\,v) &=f(\alpha u_1+\beta u_2,\,v)+f(v,\,\alpha u_1+\beta u_2)\\\ &=\alpha f(u_1,v)+\beta f(u_2,v)+\alpha f(v,u_1)+\beta f(v,u_2)\\\ &=\alpha\bigl[f(u_1,v)+f(v,u_1)\bigr]+\beta\bigl[f(u_2,v)+f(v,u_2)\bigr]\\\ &=\alpha\,g(u_1,v)+\beta\,g(u_2,v). \end{aligned}
Analogamente mostra-se linearidade em v. Agora, para a simetria basta observar:
g(v,u)=f(v,u)+f(u,v)=f(u,v)+f(v,u)=g(u,v).

Passo 3

Agora considere
h(u,v)=f(u,v)-f(v,u).
Pela mesma razão de soma, h é bilinear, pois diferença de formas bilineares é bilinear. Para ver a antissimetria, troque u e v:
h(v,u)=f(v,u)-f(u,v)=-\bigl[f(u,v)-f(v,u)\bigr]=-\,h(u,v).

Resposta

A forma definida por g(u,v)=f(u,v)+f(v,u) é simétrica, e a forma definida por g(u,v)=f(u,v)-f(v,u) é antissimétrica.

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