Dada uma forma bilinear
, prove que a forma bilinear
é simétrica e a forma bilinear
é anti-simétrica.
Passo 1
O enunciado parte de uma forma bilinear
, ou seja,
é linear em cada argumento. Precisamos mostrar duas coisas:
- A forma
é simétrica, isto é, . - A forma
é antissimétrica, isto é, .
Passo 2
Considere primeiro
Para ver que
é bilinear, use linearidade de
. Por exemplo, no primeiro argumento, para quaisquer escalares
e vetores
:
Analogamente mostra-se linearidade em
. Agora, para a simetria basta observar:
Passo 3
Agora considere
Pela mesma razão de soma,
é bilinear, pois diferença de formas bilineares é bilinear. Para ver a antissimetria, troque
e
:
Resposta
A forma definida por
é simétrica, e a forma definida por
é antissimétrica.