Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
\displaystyle r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2-t \\\ y=t \\\ z=3-2 t\end{array} \quad \text { e } \quad r_{2}: \frac{x}{2}=\frac{y+6}{1}=\frac{z-1}{1}\right.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o ângulo entre as retas [r_{1}) e r_{2}.
Informações dadas:
  • r_{1} está em forma paramétrica:
r_{1}:\begin{cases} x=2-t\\[4pt] y=t\\[4pt] z=3-2t \end{cases}
  • (r_{2}] está em forma simétrica:
    r_{2}:\frac{x}{2}=\frac{y+6}{1}=\frac{z-1}{1}.
Estas são todas as informações do enunciado. O objetivo é calcular o ângulo entre as duas retas em espaço tridimensional.]

Passo 2

Extrair o vetor direção da reta r_{1}.
Explicação didática: numa forma paramétrica do tipo
x=x_0 + a t,\quad y=y_0 + b t,\quad z=z_0 + c t,
o vetor direção da reta é (a,b,c), porque ao variar t a posição altera-se segundo esse vetor. Aqui a escrita é x=2-t, y=t, z=3-2t. Podemos reescrever como
x=2+(-1)\,t,\quad y=0+1\cdot t,\quad z=3+(-2)\,t,
portanto o vetor direção de r_{1} é
\mathbf{v}_1 = (-1,\,1,\,-2).

Passo 3

Extrair o vetor direção da reta r_{2} convertendo a forma simétrica para paramétrica.
Explicação didática: a forma
\frac{x}{2}=\frac{y+6}{1}=\frac{z-1}{1}
significa que existe um parâmetro, digamos s, tal que
\frac{x}{2}=s,\qquad \frac{y+6}{1}=s,\qquad \frac{z-1}{1}=s.
Isto dá as equações paramétricas
x=2s,\quad y=s-6,\quad z=s+1.
Comparando com x=x_0 + a s etc., o vetor direção é (a,b,c)=(2,1,1). Logo
\mathbf{v}_2 = (2,\,1,\,1).

Passo 4

Apresentar a fórmula que relaciona produto escalar e ângulo entre vetores — e o porquê.
Explicação didática: em \mathbb{R}^3, o produto escalar (dot product) entre dois vetores \mathbf{u}=(u_1,u_2,u_3) e \mathbf{v}=(v_1,v_2,v_3) é
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3.
Esse produto satisfaz a identidade geométrica
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\cos\theta,
onde \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} é a norma (comprimento) de \mathbf{u}, \|\mathbf{v}\| é a norma de \mathbf{v}, e \theta é o ângulo entre os vetores (o valor entre 0 e \pi). Assim, para obter \theta usamos
\cos\theta=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|}.
Observação importante: o ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre seus vetores direção, ou seja, toma-se o valor de \theta no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}]. Por isso, ao calcular com o produto escalar às vezes é conveniente usar o valor absoluto do numerador para garantir o ângulo agudo:
\cos\theta=\frac{|\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2|}{\|\mathbf{v}_1\|\,\|\mathbf{v}_2\|}.
Exemplo rápido para fixar: vetores (1,0,0) e (0,1,0) têm produto escalar 0, normas 1, logo \cos\theta=0 e \theta=90^\circ.

Passo 5

Calcular produto escalar e normas para \mathbf{v}_1 e \mathbf{v}_2.
Produto escalar:
\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2 = (-1)\cdot 2 + 1\cdot 1 + (-2)\cdot 1 = -2 + 1 -2 = -3.
Normas:
\|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6},
\|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}.

Passo 6

Calcular o cosseno do ângulo e o ângulo.
Usando a fórmula com valor absoluto para obter o menor ângulo:
\cos\theta = \frac{|\mathbf{v}_1\cdot\mathbf{v}_2|}{\|\mathbf{v}_1\|\,\|\mathbf{v}_2\|} = \frac{|-3|}{\sqrt{6}\,\sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \tfrac{1}{2}.
Portanto
\theta = \operatorname{arccos}\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3}.
Em graus isso corresponde a 60^\circ.

Resposta

\theta=\dfrac{\pi}{3}
\theta=60^\circ

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