(r_{2}] está em forma simétrica: r_{2}:\frac{x}{2}=\frac{y+6}{1}=\frac{z-1}{1}.
Estas são todas as informações do enunciado. O objetivo é calcular o ângulo entre as duas retas em espaço tridimensional.]
Passo 2
Extrair o vetor direção da reta r_{1}.
Explicação didática: numa forma paramétrica do tipo
x=x_0 + a t,\quad y=y_0 + b t,\quad z=z_0 + c t,
o vetor direção da reta é (a,b,c), porque ao variar t a posição altera-se segundo esse vetor. Aqui a escrita é x=2-t, y=t, z=3-2t. Podemos reescrever como
x=2+(-1)\,t,\quad y=0+1\cdot t,\quad z=3+(-2)\,t,
portanto o vetor direção de r_{1} é
\mathbf{v}_1 = (-1,\,1,\,-2).
Passo 3
Extrair o vetor direção da reta r_{2} convertendo a forma simétrica para paramétrica.
Explicação didática: a forma
\frac{x}{2}=\frac{y+6}{1}=\frac{z-1}{1}
significa que existe um parâmetro, digamos s, tal que
onde \|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2} é a norma (comprimento) de \mathbf{u}, \|\mathbf{v}\| é a norma de \mathbf{v}, e \theta é o ângulo entre os vetores (o valor entre 0 e \pi). Assim, para obter \theta usamos
Observação importante: o ângulo entre duas retas é o menor ângulo entre seus vetores direção, ou seja, toma-se o valor de \theta no intervalo [0,\tfrac{\pi}{2}]. Por isso, ao calcular com o produto escalar às vezes é conveniente usar o valor absoluto do numerador para garantir o ângulo agudo: