Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
Passo 1
O enunciado dá a superfície com equação
e pede duas coisas:
- reduzir a equação à forma canônica (ou seja, escrever como soma de quadrados centrados igual a 1, quando possível);
- identificar e descrever geometricamente a superfície resultante.
Informações relevantes fornecidas:
- termos quadráticos:
, , ; - termos lineares:
, , ; - termo constante:
.
Nenhum termo misto, ou aparece.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do método que vamos usar): como não há termos mistos, a redução se faz completando o quadrado para cada variável separadamente. Vou explicar o truque do completar o quadrado, que é usado quando temos um polinômio do tipo
.
Fórmula útil (derivação curta):
Isto diz que para qualquer
e
podemos reescrever
como
vezes um quadrado perfeito menos uma constante. Vamos aplicar isso a cada variável do nosso polinômio.
Passo 3
Aplicar completar o quadrado em
.
Pegamos os termos que envolvem
:
.
Fatorando :
Fatorando
Agora complete o quadrado em
:
Multiplicando por
:
Portanto os termos em
ficam
.
Passo 4
Aplicar completar o quadrado em
e em
.
Para
: temos
. Fatore
:
Complete o quadrado:
logo
Para
: temos
. Fatore
:
Complete o quadrado:
logo
Passo 5
Reescrever toda a equação substituindo os completamentos:
Começando da equação original,
substituindo os resultados dos passos anteriores:
Agora somar as constantes:
Portanto a equação fica
Isolando os quadrados:
Passo 6
Colocar na forma canônica normalizada (lado direito igual a
) dividindo ambos os lados por
:
ou seja
É comum escrever com denominadores como:
Explicação de identificação: quando uma equação quadŕatica centrada tem a soma de três quadrados com coeficientes positivos igual a
, ou equivalentemente todos os denominadores positivos, a superfície é um elipsoide (superfície fechada e limitada). Se houvesse sinais mistos (alguns negativos), seria outro tipo (hiperbolóide ou paraboloide), mas aqui todos são positivos, logo é elipsoide.
Passo 7
Determinar centro e semi-eixos (explicação didática):
Forma padrão de um elipsoide alinhado com os eixos é
onde
é o centro e
são os semi-eixos (ou seja, os comprimentos dos semi-eixos nas direções
). Comparando com nossa forma:
vemos que:
- centro:
; -
; -
; -
.
Descrição geométrica final: elipsoide centrado em
, alinhado aos eixos coordenados, com semi-eixos de comprimentos
(na direção
),
(na direção
) e
(na direção
). É uma superfície fechada e limitada.
Resposta
Elipsoide centrado em
com semi-eixos
,
,
.