Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
6 x^{2}+3 y^{2}+2 z^{2}+24 x-6 y-12 z+39=0

Passo 1

O enunciado dá a superfície com equação
6x^{2}+3y^{2}+2z^{2}+24x-6y-12z+39=0
e pede duas coisas:
  • reduzir a equação à forma canônica (ou seja, escrever como soma de quadrados centrados igual a 1, quando possível);
  • identificar e descrever geometricamente a superfície resultante.
Informações relevantes fornecidas:
  • termos quadráticos: 6x^{2}, 3y^{2}, 2z^{2};
  • termos lineares: 24x, -6y, -12z;
  • termo constante: 39.
    Nenhum termo misto xy, xz ou yz aparece.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do método que vamos usar): como não há termos mistos, a redução se faz completando o quadrado para cada variável separadamente. Vou explicar o truque do completar o quadrado, que é usado quando temos um polinômio do tipo ax^{2}+bx.
Fórmula útil (derivação curta):
ax^{2}+bx = a\!\left(x^{2}+\frac{b}{a}x\right) = a\!\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2}}{4a^{2}}\right] = a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2} - \frac{b^{2}}{4a}.
Isto diz que para qualquer a\neq0 e b podemos reescrever ax^{2}+bx como a vezes um quadrado perfeito menos uma constante. Vamos aplicar isso a cada variável do nosso polinômio.

Passo 3

Aplicar completar o quadrado em x.
Pegamos os termos que envolvem x: 6x^{2}+24x.
Fatorando 6:
6x^{2}+24x = 6\bigl(x^{2}+4x\bigr).
Agora complete o quadrado em x^{2}+4x:
x^{2}+4x = (x+2)^{2}-4.
Multiplicando por 6:
6\bigl(x^{2}+4x\bigr) = 6(x+2)^{2} - 24.
Portanto os termos em x ficam 6(x+2)^{2}-24.

Passo 4

Aplicar completar o quadrado em y e em z.
Para y: temos 3y^{2}-6y. Fatore 3:
3y^{2}-6y = 3\bigl(y^{2}-2y\bigr).
Complete o quadrado:
y^{2}-2y = (y-1)^{2}-1,
logo
3\bigl(y^{2}-2y\bigr)=3(y-1)^{2}-3.
Para z: temos 2z^{2}-12z. Fatore 2:
2z^{2}-12z = 2\bigl(z^{2}-6z\bigr).
Complete o quadrado:
z^{2}-6z = (z-3)^{2}-9,
logo
2\bigl(z^{2}-6z\bigr)=2(z-3)^{2}-18.

Passo 5

Reescrever toda a equação substituindo os completamentos:
Começando da equação original,
6x^{2}+3y^{2}+2z^{2}+24x-6y-12z+39=0,
substituindo os resultados dos passos anteriores:
\bigl[6(x+2)^{2}-24\bigr] + \bigl[3(y-1)^{2}-3\bigr] + \bigl[2(z-3)^{2}-18\bigr] +39 = 0.
Agora somar as constantes:
-24 -3 -18 +39 = -6.
Portanto a equação fica
6(x+2)^{2} + 3(y-1)^{2} + 2(z-3)^{2} -6 = 0.
Isolando os quadrados:
6(x+2)^{2} + 3(y-1)^{2} + 2(z-3)^{2} = 6.

Passo 6

Colocar na forma canônica normalizada (lado direito igual a 1) dividindo ambos os lados por 6:
\frac{6(x+2)^{2}}{6} + \frac{3(y-1)^{2}}{6} + \frac{2(z-3)^{2}}{6} = 1,
ou seja
(x+2)^{2} + \frac{1}{2}(y-1)^{2} + \frac{1}{3}(z-3)^{2} = 1.
É comum escrever com denominadores como:
\frac{(x+2)^{2}}{1} + \frac{(y-1)^{2}}{2} + \frac{(z-3)^{2}}{3} = 1.
Explicação de identificação: quando uma equação quadŕatica centrada tem a soma de três quadrados com coeficientes positivos igual a 1, ou equivalentemente todos os denominadores positivos, a superfície é um elipsoide (superfície fechada e limitada). Se houvesse sinais mistos (alguns negativos), seria outro tipo (hiperbolóide ou paraboloide), mas aqui todos são positivos, logo é elipsoide.

Passo 7

Determinar centro e semi-eixos (explicação didática):
Forma padrão de um elipsoide alinhado com os eixos é
\frac{(x-x_0)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-y_0)^{2}}{b^{2}}+\frac{(z-z_0)^{2}}{c^{2}}=1,
onde (x_0,y_0,z_0) é o centro e a,b,c>0 são os semi-eixos (ou seja, os comprimentos dos semi-eixos nas direções x,y,z). Comparando com nossa forma:
\frac{(x+2)^{2}}{1}+\frac{(y-1)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1,
vemos que:
  • centro: (x_0,y_0,z_0)=(-2,\,1,\,3);
  • a^{2}=1\Rightarrow a=1;
  • b^{2}=2\Rightarrow b=\sqrt{2};
  • c^{2}=3\Rightarrow c=\sqrt{3}.
Descrição geométrica final: elipsoide centrado em (-2,1,3), alinhado aos eixos coordenados, com semi-eixos de comprimentos 1 (na direção x), \sqrt{2} (na direção y) e \sqrt{3} (na direção z). É uma superfície fechada e limitada.

Resposta

\frac{(x+2)^{2}}{1}+\frac{(y-1)^{2}}{2}+\frac{(z-3)^{2}}{3}=1
Elipsoide centrado em (-2,\,1,\,3) com semi-eixos a=1, b=\sqrt{2}, c=\sqrt{3}.

Exercícios relacionados