Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
Passo 1
O enunciado dá a equação da superfície
e pede que a reduzamos à forma canônica e que a identifiquemos e descrevamos.
Informações importantes extraídas do enunciado:
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação é um polinómio quadrático em
. - Existem termos quadráticos em
e termos lineares em e . - Não há termo linear em
nem termos mistos .
Passo 2
Primeiro vamos reorganizar a equação juntando os termos por variáveis para facilitar completar quadrados:
Agrupando:
A ideia agora é completar o quadrado nas parcelas em
e em
. Isto transforma os termos quadráticos com termos lineares em quadrados perfeitos deslocados, o que revela o centro/ vértice da superfície.
Passo 3
Completar o quadrado para a parte em
:
Começamos com
. Factoramos
:
Para completar o quadrado em
adiciona-se e subtrai-se
(porque
). Assim:
Portanto
Passo 4
Agora completar o quadrado para a parte em
:
Começamos com
. Factoramos
:
Para completar o quadrado em
adiciona-se e subtrai-se
(porque
). Assim:
Portanto
Passo 5
Substituímos as expressões completadas na equação original:
A equação original vira
Agora somamos as constantes
:
Logo as constantes se cancelam e sobra:
Esta é já uma forma muito mais clara: não há termos lineares restantes, os quadrados estão centrados em
.
Passo 6
Vamos pôr esta última expressão na forma canónica padrão para quadricas. Dividimos por
(ou escrevemos de modo a termos denominadores positivos convenientes). Dividindo ambos os lados por
obtemos
Escrevendo de forma análoga à forma canónica usual de um cone (com coordenadas deslocadas
):
Esta é a forma canónica.
Um comentário didático sobre formas canónicas: para superfícies quadráticas sem termos mistos e sem constantes (ou com constantes eliminadas por deslocamento), a forma canónica típica é algo como
onde o sinal determina se cada termo é positivo ou negativo. Quando os sinais não são todos iguais e o lado direito é zero, geralmente temos um cone quadrático cujo vértice é o ponto de deslocamento usado (aqui
).
Passo 7
Classificação geométrica e descrição detalhada:
-
Tipo: é um cone duplo de tipo elíptico (um cone quadrático homogéneo deslocado). Em terminologia comum: um “cono elíptico” (ou “cono quádruplo”) com duas nappes (duas folhas), porque a equação homogénea quadrática igual a zero com assinatura
representa um cone duplo com vértice no ponto onde os termos lineares foram eliminados. -
Vértice: o vértice do cone é o ponto que cancela os termos lineares, ou seja
. (Isso veio do deslocamento .) -
Eixo e simetria: a variável com coeficiente positivo é
(coeficiente ), enquanto e aparecem com sinais negativas. Logo o eixo do cone é paralelo ao eixo (mais precisamente paralelo ao vetor na coordenada original), com o vértice em . Para cada valor fixo de a secção transversal por plano constante é uma elipse (portanto não é um cone circular, excepto em meridianos especiais): isto caracteriza um cone elíptico. -
Ângulo de abertura/geratrizes em planos coordenados: por exemplo, no plano
(ou seja ) a equação reduz a
Isto mostra que, no plano
, as geratrizes forma um ângulo de
com o eixo
. Contudo, devido ao coeficiente diferente em
(o factor
), as geratrizes não têm o mesmo ângulo em todas as direcções — de novo, isto confirma que o cone é elíptico (não circular).
Resposta
Cono elíptico duplo (vértice em