Reduzir cada superfícies à forma canônica, identificar e descrever as superfícies de equações dadas:
2 x^{2}-6 y^{2}-3 z^{2}-24 y+6 z-27=0

Passo 1

O enunciado dá a equação da superfície
2x^{2}-6y^{2}-3z^{2}-24y+6z-27=0
e pede que a reduzamos à forma canônica e que a identifiquemos e descrevamos.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação é um polinómio quadrático em x,y,z.
  • Existem termos quadráticos em x^{2},y^{2},z^{2} e termos lineares em y e z.
  • Não há termo linear em x nem termos mistos xy,xz,yz.

Passo 2

Primeiro vamos reorganizar a equação juntando os termos por variáveis para facilitar completar quadrados:
2x^{2}-6y^{2}-24y-3z^{2}+6z-27=0.
Agrupando:
2x^{2} + \bigl(-6y^{2}-24y\bigr) + \bigl(-3z^{2}+6z\bigr) -27 = 0.
A ideia agora é completar o quadrado nas parcelas em y e em z. Isto transforma os termos quadráticos com termos lineares em quadrados perfeitos deslocados, o que revela o centro/ vértice da superfície.

Passo 3

Completar o quadrado para a parte em y:
Começamos com -6y^{2}-24y. Factoramos -6:
-6y^{2}-24y = -6\bigl(y^{2}+4y\bigr).
Para completar o quadrado em y^{2}+4y adiciona-se e subtrai-se 4 (porque (y+2)^{2}=y^{2}+4y+4). Assim:
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.
Portanto
-6\bigl(y^{2}+4y\bigr) = -6\bigl((y+2)^{2}-4\bigr) = -6(y+2)^{2} + 24.

Passo 4

Agora completar o quadrado para a parte em z:
Começamos com -3z^{2}+6z. Factoramos -3:
-3z^{2}+6z = -3\bigl(z^{2}-2z\bigr).
Para completar o quadrado em z^{2}-2z adiciona-se e subtrai-se 1 (porque (z-1)^{2}=z^{2}-2z+1). Assim:
z^{2}-2z = (z-1)^{2}-1.
Portanto
-3\bigl(z^{2}-2z\bigr) = -3\bigl((z-1)^{2}-1\bigr) = -3(z-1)^{2} + 3.

Passo 5

Substituímos as expressões completadas na equação original:
A equação original vira
2x^{2} + \bigl(-6(y+2)^{2} + 24\bigr) + \bigl(-3(z-1)^{2} + 3\bigr) -27 = 0.
Agora somamos as constantes 24+3-27:
24+3-27 = 0.
Logo as constantes se cancelam e sobra:
2x^{2} -6(y+2)^{2} -3(z-1)^{2} = 0.
Esta é já uma forma muito mais clara: não há termos lineares restantes, os quadrados estão centrados em (x,\;y+2,\;z-1).

Passo 6

Vamos pôr esta última expressão na forma canónica padrão para quadricas. Dividimos por 6 (ou escrevemos de modo a termos denominadores positivos convenientes). Dividindo ambos os lados por 6 obtemos
\frac{x^{2}}{3} - (y+2)^{2} - \frac{1}{2}(z-1)^{2} = 0.
Escrevendo de forma análoga à forma canónica usual de um cone (com coordenadas deslocadas x'=x,\;y'=y+2,\;z'=z-1):
\frac{{x'}^{2}}{3} - \frac{{y'}^{2}}{1} - \frac{{z'}^{2}}{2} = 0, \quad\text{onde}\quad x'=x,\; y'=y+2,\; z'=z-1.
Esta é a forma canónica.
Um comentário didático sobre formas canónicas: para superfícies quadráticas sem termos mistos e sem constantes (ou com constantes eliminadas por deslocamento), a forma canónica típica é algo como
\pm\frac{{x'}^{2}}{a^{2}}\pm\frac{{y'}^{2}}{b^{2}}\pm\frac{{z'}^{2}}{c^{2}}=0,
onde o sinal determina se cada termo é positivo ou negativo. Quando os sinais não são todos iguais e o lado direito é zero, geralmente temos um cone quadrático cujo vértice é o ponto de deslocamento usado (aqui (0,-2,1)).

Passo 7

Classificação geométrica e descrição detalhada:
  • Tipo: é um cone duplo de tipo elíptico (um cone quadrático homogéneo deslocado). Em terminologia comum: um “cono elíptico” (ou “cono quádruplo”) com duas nappes (duas folhas), porque a equação homogénea quadrática igual a zero com assinatura (+,-,-) representa um cone duplo com vértice no ponto onde os termos lineares foram eliminados.
  • Vértice: o vértice do cone é o ponto que cancela os termos lineares, ou seja (x,y,z)=(0,-2,1). (Isso veio do deslocamento y' = y+2,\; z' = z-1.)
  • Eixo e simetria: a variável com coeficiente positivo é x' (coeficiente 1/3>0), enquanto y' e z' aparecem com sinais negativas. Logo o eixo do cone é paralelo ao eixo x (mais precisamente paralelo ao vetor (1,0,0) na coordenada original), com o vértice em (0,-2,1). Para cada valor fixo de x'\neq 0 a secção transversal por plano x'= constante é uma elipse (portanto não é um cone circular, excepto em meridianos especiais): isto caracteriza um cone elíptico.
  • Ângulo de abertura/geratrizes em planos coordenados: por exemplo, no plano z'=0 (ou seja z=1) a equação reduz a
\frac{{x'}^{2}}{3} - {y'}^{2} = 0 \quad\Rightarrow\quad {y'}=\pm\frac{x'}{\sqrt{3}}.
Isto mostra que, no plano z'=0, as geratrizes forma um ângulo de \arctan\!\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr)=30^\circ com o eixo x'. Contudo, devido ao coeficiente diferente em z' (o factor 1/2), as geratrizes não têm o mesmo ângulo em todas as direcções — de novo, isto confirma que o cone é elíptico (não circular).

Resposta

\displaystyle \frac{x^{2}}{3}-(y+2)^{2}-\frac{1}{2}(z-1)^{2}=0
Cono elíptico duplo (vértice em (0,-2,1), eixo paralelo a (1,0,0); secções x'= constante são elipses).

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