Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
.
Passo 1
O enunciado fornece a fórmula
O que se pede:
- Reescrever essa afirmação em linguagem natural, sem usar a notação simbólica.
- Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa (e justificar).
Passo 2
Vamos entender, palavra por palavra, o que dizem os quantificadores e a seta na fórmula (isto é necessário antes de reescrever em linguagem natural).
- O símbolo
significa “para todo” ou “para quaisquer”. Portanto quer dizer "para quaisquer números reais e ". - A expressão
é a condição (antecedente) — significa que é estritamente menor que . - A seta
significa “implica” ou “se … então …”. Uma implicação "se então " exige que, sempre que seja verdadeira, também seja verdadeira; se for falsa, a implicação é verdadeira automaticamente (verdade vacuamente). - O símbolo
significa “existe” ou “existe pelo menos um”. Assim quer dizer "existe algum número real tal que fica estritamente entre e ".
Passo 3
Agora reescrevendo a fórmula inteira em linguagem natural, sem símbolos:
“Para quaisquer números reais e
, se
é menor do que
, então existe um número real
tal que
está estritamente entre
e
.”
“Para quaisquer números reais
Essa é a versão pedida: deixa claro o quantificador universal (“para quaisquer”), a hipótese ("se
") e a existência do ponto intermediário.
Passo 4
Agora vamos avaliar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. A estratégia clássica é dar um procedimento construtivo que funcione sempre que
: isto provê um exemplo de
que depende de
e
e que satisfaz
. Uma escolha natural e simples é o ponto médio entre
e
.
Defina
Passo 5
Mostrar que essa escolha realmente satisfaz
, partindo da hipótese
.
- Subtraindo
de ambos os membros da desigualdade (subtração preserva a desigualdade), obtemos
- Dividindo por
(número positivo, então a desigualdade se mantém), obtemos
- Somando
a ambos os lados (adição preserva a desigualdade), obtemos
- Note que
Portanto acabamos de mostrar
.
- Para a outra desigualdade, comece novamente de
, divida por para obter , e some a do outro lado para ver que
pois
e
. Assim
.
Concluímos que
Passo 6
Como a construção funcionou para qualquer par
com
, mostramos que sempre existe pelo menos um
entre
e
. Logo a afirmação é verdadeira.
Observação útil (para prova e exame): se
a hipótese
é falsa, então a implicação
é verdadeira por vacuidade; mas a parte interessante é quando
, e aí mostramos construtivamente que o ponto médio resolve o problema.
Passo 7
Comentário final e variações (úteis para fixar a ideia): não é necessário escolher exatamente o ponto médio; qualquer número da forma
com
também funciona (por exemplo
ou
). Isso mostra que, entre dois reais distintos, existem infinitos reais.
Resposta
Para quaisquer números reais
e
, se
é menor do que
então existe um número real
que fica estritamente entre
e
.
Verdadeiro.
Verdadeiro.