Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
\forall a, b \in \mathbb{R}, a<b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}: a<c<b.

Passo 1

O enunciado fornece a fórmula
\forall a,b \in \mathbb{R},\; a<b \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}:\; a<c<b.
O que se pede:
  • Reescrever essa afirmação em linguagem natural, sem usar a notação simbólica.
  • Determinar se a afirmação é verdadeira ou falsa (e justificar).

Passo 2

Vamos entender, palavra por palavra, o que dizem os quantificadores e a seta na fórmula (isto é necessário antes de reescrever em linguagem natural).
  • O símbolo \forall significa “para todo” ou “para quaisquer”. Portanto \forall a,b \in \mathbb{R} quer dizer "para quaisquer números reais a e b".
  • A expressão a<b é a condição (antecedente) — significa que a é estritamente menor que b.
  • A seta \Rightarrow significa “implica” ou “se … então …”. Uma implicação "se P então Q" exige que, sempre que P seja verdadeira, Q também seja verdadeira; se P for falsa, a implicação é verdadeira automaticamente (verdade vacuamente).
  • O símbolo \exists significa “existe” ou “existe pelo menos um”. Assim \exists c \in \mathbb{R}:\; a<c<b quer dizer "existe algum número real c tal que c fica estritamente entre a e b".

Passo 3

Agora reescrevendo a fórmula inteira em linguagem natural, sem símbolos:
“Para quaisquer números reais a e b, se a é menor do que b, então existe um número real c tal que c está estritamente entre a e b.”
Essa é a versão pedida: deixa claro o quantificador universal (“para quaisquer”), a hipótese ("se a<b") e a existência do ponto intermediário.

Passo 4

Agora vamos avaliar se essa afirmação é verdadeira ou falsa. A estratégia clássica é dar um procedimento construtivo que funcione sempre que a<b: isto provê um exemplo de c que depende de a e b e que satisfaz a<c<b. Uma escolha natural e simples é o ponto médio entre a e b.
Defina
c = \frac{a+b}{2}.

Passo 5

Mostrar que essa escolha realmente satisfaz a<c<b, partindo da hipótese a<b.
  1. Subtraindo a de ambos os membros da desigualdade a<b (subtração preserva a desigualdade), obtemos
0 < b-a.
  1. Dividindo por 2 (número positivo, então a desigualdade se mantém), obtemos
0 < \frac{b-a}{2}.
  1. Somando a a ambos os lados (adição preserva a desigualdade), obtemos
a < a + \frac{b-a}{2}.
  1. Note que
a + \frac{b-a}{2} = \frac{2a + (b-a)}{2} = \frac{a+b}{2} = c.
Portanto acabamos de mostrar a < c.
  1. Para a outra desigualdade, comece novamente de 0 < b-a, divida por 2 para obter 0 < \tfrac{b-a}{2}, e some \tfrac{b-a}{2} a a do outro lado para ver que
a + \frac{b-a}{2} < b,
pois a + \frac{b-a}{2} = b - \frac{b-a}{2} e \frac{b-a}{2} > 0. Assim c < b.
Concluímos que
a < c < b.

Passo 6

Como a construção funcionou para qualquer par a,b com a<b, mostramos que sempre existe pelo menos um c entre a e b. Logo a afirmação é verdadeira.
Observação útil (para prova e exame): se a\ge b a hipótese a<b é falsa, então a implicação a<b \Rightarrow \exists c\\ \ldots é verdadeira por vacuidade; mas a parte interessante é quando a<b, e aí mostramos construtivamente que o ponto médio resolve o problema.

Passo 7

Comentário final e variações (úteis para fixar a ideia): não é necessário escolher exatamente o ponto médio; qualquer número da forma
c = a + t(b-a)
com 0<t<1 também funciona (por exemplo t=\tfrac{1}{3} ou t=\tfrac{1}{10}). Isso mostra que, entre dois reais distintos, existem infinitos reais.

Resposta

Para quaisquer números reais a e b, se a é menor do que b então existe um número real c que fica estritamente entre a e b.
Verdadeiro.

Exercícios relacionados