Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a seguinte afirmação simbólica:
Informações dadas:
- As variáveis
e são quantificadas por e estão no conjunto . - A notação
indica os inteiros não nulos (ou seja, inteiros diferentes de zero). - Há uma existência
com . - A condição a ser satisfeita por
é que seja um número inteiro.
O que o problema pede:
- Reescrever a afirmação em linguagem natural, sem usar símbolos.
- Determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.
Passo 2
Entendendo os quantificadores e a ordem deles (explicação didática).
- O quantificador
significa “para quaisquer e escolhidos” — ou seja, a afirmação deve valer para todos os pares de inteiros não nulos. - O quantificador
significa “existe ao menos um inteiro ” (esse pode depender de e ). - Importante: a ordem é “para todo
existe …”, então, para cada par pode ser um diferente. Em provas, para mostrar uma afirmativa com essa forma, toma-se e arbitrários e constrói-se (ou exibe-se) um que funcione.
Passo 3
Reescrever em linguagem natural (sem símbolos).
- A tradução literal e clara é: “Para quaisquer dois inteiros não nulos
e , existe um inteiro tal que o produto de por é um número inteiro.” - Outra forma equivalente em linguagem natural: “Dado qualquer par de inteiros não nulos
e , pode-se encontrar um inteiro de modo que, ao multiplicar dividido por por , obtém-se um inteiro.”
Passo 4
Estratégia para decidir o valor-verdade (explicação didática sobre como provar).
- Para provar que a afirmação é verdadeira, é suficiente, dado um
e um arbitrários em , apresentar um exemplo concreto (um “testemunho”) de que satisfaça . - Uma escolha natural é tentar relacionar
com , porque a presença de no denominador sugere que multiplicar por algo proporcional a pode cancelar a divisão.
Passo 5
Construção do testemunho e verificação detalhada (contas passo a passo).
- Tome
e quaisquer em . Como é um inteiro não nulo, pertence a , logo é permitido escolher (pois o requisito é ). - Calcule
com :
- Observação:
é um inteiro (foi dado ), portanto . Assim é um inteiro. - Conclusão do passo: para quaisquer
o inteiro satisfaz a condição, logo existe pelo menos um com a propriedade pedida.
Passo 6
Conclusão e comentários extras (dicas para a prova, exemplos e variantes).
- Conclui-se que a afirmação é verdadeira, porque foi dado um método construtivo simples (
) que funciona para todos os pares . - Exemplo concreto para fixar a ideia: se
e , escolher dá , que é inteiro. - Observação adicional: qualquer múltiplo de
também funciona como , isto é, com dá . - Dica para prova em prova: ao ver uma divisão por
, experimente escolher igual a (ou múltiplo de ) para cancelar o denominador.
Resposta
Para quaisquer dois inteiros não nulos
e
, existe um inteiro
tal que o produto de
por
é um inteiro.
Verdadeiro.
Verdadeiro.