Reescreva cada afirmação a seguir em linguagem natural, sem usar notação simbólica, e determine seu valor verdade:
\forall a, b \in \mathbb{Z}^{*}, \exists c \in \mathbb{Z} \mid(a / b) c \in \mathbb{Z}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado fornece a seguinte afirmação simbólica:
\forall a, b \in \mathbb{Z}^{*},\\ \exists c \in \mathbb{Z}\mid (a/b)\,c \in \mathbb{Z}.
Informações dadas:
  • As variáveis a e b são quantificadas por \forall e estão no conjunto \mathbb{Z}^{*}.
  • A notação \mathbb{Z}^{*} indica os inteiros não nulos (ou seja, inteiros diferentes de zero).
  • Há uma existência \exists c com c \in \mathbb{Z}.
  • A condição a ser satisfeita por c é que (a/b)\,c seja um número inteiro.
O que o problema pede:
  • Reescrever a afirmação em linguagem natural, sem usar símbolos.
  • Determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa.

Passo 2

Entendendo os quantificadores e a ordem deles (explicação didática).
  • O quantificador \forall a,b significa “para quaisquer a e b escolhidos” — ou seja, a afirmação deve valer para todos os pares de inteiros não nulos.
  • O quantificador \exists c significa “existe ao menos um inteiro c” (esse c pode depender de a e b).
  • Importante: a ordem é “para todo a,b existe c …”, então, para cada par (a,b) pode ser um c diferente. Em provas, para mostrar uma afirmativa com essa forma, toma-se a e b arbitrários e constrói-se (ou exibe-se) um c que funcione.

Passo 3

Reescrever em linguagem natural (sem símbolos).
  • A tradução literal e clara é: “Para quaisquer dois inteiros não nulos a e b, existe um inteiro c tal que o produto de a/b por c é um número inteiro.”
  • Outra forma equivalente em linguagem natural: “Dado qualquer par de inteiros não nulos a e b, pode-se encontrar um inteiro c de modo que, ao multiplicar a dividido por b por c, obtém-se um inteiro.”

Passo 4

Estratégia para decidir o valor-verdade (explicação didática sobre como provar).
  • Para provar que a afirmação é verdadeira, é suficiente, dado um a e um b arbitrários em \mathbb{Z}^{*}, apresentar um exemplo concreto (um “testemunho”) de c\in\mathbb{Z} que satisfaça (a/b)\,c\in\mathbb{Z}.
  • Uma escolha natural é tentar relacionar c com b, porque a presença de b no denominador sugere que multiplicar por algo proporcional a b pode cancelar a divisão.

Passo 5

Construção do testemunho e verificação detalhada (contas passo a passo).
  • Tome a e b quaisquer em \mathbb{Z}^{*}. Como b é um inteiro não nulo, b pertence a \mathbb{Z}, logo é permitido escolher c=b (pois o requisito é c\in\mathbb{Z}).
  • Calcule (a/b)\,c com c=b:
\left(\frac{a}{b}\right) b = a.
  • Observação: a é um inteiro (foi dado a\in\mathbb{Z}^{*}), portanto a\in\mathbb{Z}. Assim (a/b)\,b é um inteiro.
  • Conclusão do passo: para quaisquer a,b\in\mathbb{Z}^{*} o inteiro c=b satisfaz a condição, logo existe pelo menos um c com a propriedade pedida.

Passo 6

Conclusão e comentários extras (dicas para a prova, exemplos e variantes).
  • Conclui-se que a afirmação é verdadeira, porque foi dado um método construtivo simples ( c=b) que funciona para todos os pares (a,b).
  • Exemplo concreto para fixar a ideia: se a=3 e b=4, escolher c=4 (3/4)\cdot 4 = 3, que é inteiro.
  • Observação adicional: qualquer múltiplo de b também funciona como c, isto é, c=k b com k\in\mathbb{Z} (a/b)\,c = a k\in\mathbb{Z}.
  • Dica para prova em prova: ao ver uma divisão por b, experimente escolher c igual a b (ou múltiplo de b) para cancelar o denominador.

Resposta

Para quaisquer dois inteiros não nulos a e b, existe um inteiro c tal que o produto de a/b por c é um inteiro.
Verdadeiro.

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