Reescreva cada uma das integrais abaixo de dois modos diferentes.
integral0^1 integral0^1-x^2 integral0^2-2 z d y d z d x;

Passo 1

Enunciado resumido: precisamos reescrever a integral integral0^1integral0^1-x^2integral0^2-2zdy,dz,dx em dois outros modos de integração. O conteúdo aqui é mudança de ordem de integração em integrais triplas: a ideia é visualizar bem a região de integração e projetá-la nos diferentes eixos.

Passo 2

Identificação da região D:
D=(x,y,z)mid 0<= x<=1, ;0<= z<=1-x^2, ;0<= y<=2-2z
Em outras palavras, para cada x entre 0 e 1, z vai de 0 até 1-x^2, e para cada par (x,z), y vai de 0 até 2-2z.

Passo 3

Primeiro modo (ordem dx,dy,dz): projetando em z primeiro vemos que z varia de 0 a 1 (já que z<=1-x^2<=1). Para cada z fixo, y vai de 0 a 2-2z. E para cada par (y,z), a condição z<=1-x^2 0<= x<=raiz1-z. Portanto
integralz=0^1integraly=0^2-2zintegralx=0^raiz1-zdx,dy,dz,

Passo 4

Segundo modo (ordem dx,dz,dy): projetando em y primeiro vemos que y varia de 0 a 2. Para cada y fixo, y<=2-2z implica 0<= z<=tfrac2-y2. E como antes 0<= x<=raiz1-z. Logo
integraly=0^2integralz=0^2-y2integralx=0^raiz1-zdx,dz,dy

Resposta

As duas reescritas são:
integralz=0^1integraly=0^2-2zintegralx=0^raiz1-zdx,dy,dz
integraly=0^2integralz=0^tfrac2-y2integralx=0^raiz1-zdx,dz,dy

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