Reescreva cada região D abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região D.
D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 4.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a região
D = (x,y)in R^2: x^2 + y^2 <= 4 como região do tipo I (projeção em x) ou do tipo II (projeção em y) e fazer um esboço. Estamos trabalhando com descrição de domínios para integrais duplas e precisamos encontrar os limites de integração em cada caso.

Passo 2

Para obter a forma de região do tipo I, projetamos D no eixo x. A condição x^2 + y^2 <= 4 implica y^2 <= 4 - x^2, ou seja,
-raiz4 - x^2 <= y <= raiz4 - x^2.
Além disso, x^2 <= 4
-2 <= x <= 2.
Logo, como tipo I temos:
D = (x,y): -2 <= x <= 2,; -raiz4 - x^2 <= y <= raiz4 - x^2

Passo 3

Para a forma de região do tipo II, projetamos D no eixo y. Do mesmo modo, x^2 <= 4 - y^2 leva a
-raiz4 - y^2 <= x <= raiz4 - y^2
e -2 <= y <= 2.
Assim, como tipo II:
D = (x,y): -2 <= y <= 2,; -raiz4 - y^2 <= x <= raiz4 - y^2

Passo 4

O esboço de D é simplesmente o círculo de raio 2 centrado na origem, ou seja, todos os pontos cujo vértice satisfaz x^2 + y^2 = 4 e o interior dele.

Resposta

Como região do tipo I:
D = (x,y): -2 <= x <= 2,; -raiz4 - x^2 <= y <= raiz4 - x^2
Como região do tipo II:
D = (x,y): -2 <= y <= 2,; -raiz4 - y^2 <= x <= raiz4 - y^2
O esboço de D é um círculo de raio 2 centrado na origem.

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