Reescreva cada região D abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região D.
D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1 e y <= 0.

Passo 1

O enunciado nos dá a região D=(x,y)inR^2;;x^2+y^2<=1 e y<=0. O objetivo é reescrevê-la como região do tipo I ou do tipo II e fazer um esboço. O conteúdo envolve classificação de regiões planas e projeções nos eixos para obter limites de integração.

Passo 2

Reconhecemos que x^2+y^2<=1 e y<=0 descrevem o semicírculo inferior de raio 1, centrado na origem. Para escrever como região do tipo I, vamos projetar D no eixo x.

Passo 3

A projeção de D no eixo x é o intervalo [-1,1], pois para qualquer ponto em D temos -1<= x<=1. Para cada x fixo em [-1,1], a coordenada y varia de -raiz1-x^2 (a parte inferior do círculo) até 0.

Passo 4

O esboço de D é o semicírculo abaixo do eixo x de raio 1, centrado na origem, incluindo a fronteira em y=0 e o arco x^2+y^2=1.

Resposta

D=(x,y)mid -1<= x<=1,;-raiz1-x^2<= y<=0

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