Reescreva cada região D abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região D.
D=(x, y) in R^2 ; x^2+y^2 <= 1 e x >= 0.

Passo 1

A região dada é meio disco de raio 1 centrado na origem, restrito a x≥0. O conteúdo é sobre definição de regiões tipo I e tipo II para integrar em coordenadas cartesianas e vamos usar as definições dessas regiões para reescrever D.

Passo 2

Para escrever D como região do tipo I, lembramos que região tipo I é dada por a ≤ x ≤ b e g₁(x) ≤ y ≤ g₂(x). A fronteira dada por x²+y²=1 nos dá y=±√(1−x²). Como x≥0 e x²+y²≤1, concluímos que x varia de 0 a 1 e, para cada x fixo, y varia de −√(1−x²) até +√(1−x²).

Passo 3

Para escrever D como região do tipo II, lembramos que região tipo II é dada por c ≤ y ≤ d e h₁(y) ≤ x ≤ h₂(y). Da equação do círculo tiramos x=±√(1−y²). Como x≥0, temos x=√(1−y²). E y varia de −1 a 1. Logo, −1 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ √(1−y²).

Passo 4

Para esboçar D, desenhe o círculo x²+y²=1 e sombreie a parte direita (x≥0). É um semicírculo de raio 1 à direita do eixo y.

Resposta

Como tipo I:
D = (x,y): 0 <= x <= 1,; -raiz1 - x^2 <= y <= raiz1 - x^2
Como tipo II:
D = (x,y): -1 <= y <= 1,; 0 <= x <= raiz1 - y^2

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