Reescreva cada região
abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região
.
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede para reescrever a região D limitada pelas curvas y+1=0 (reta y=−1) e y+x²=0 (parábola y=−x²) como regiões do tipo I e do tipo II e ainda fazer um esboço da região. O conteúdo é descrição de regiões para integrais duplas, e vamos usar as definições de região tipo I e tipo II e encontrar as projeções de D nos eixos.
Passo 2
Região do tipo I é definida por
enquanto a região do tipo II é
Passo 3
Para achar os limites de D, encontramos a interseção das curvas:
Elas se cruzam em (−1,−1) e (1,−1).
Passo 4
Para descrever D como região tipo I, projetamos em x. Observando que para x∈[−1,1] a parábola y=−x² fica acima da reta y=−1, temos
$$
D={(x,y):-1\le x\le1,;-1\le y\le -x^2}.$$
Passo 5
Para descrever D como região tipo II, projetamos em y. A condição y≤−x² dá x²≤−y, ou seja |x|≤√(−y). Como y varia de −1 até 0, obtemos
Passo 6
Para esboçar D, desenhe a parábola y=−x² (vértice em (0,0)) e a reta horizontal y=−1. A região D é a faixa entre essas curvas, limitada nos ponts (−1,−1) e (1,−1), como mostrado abaixo.
(Esboço: parábola voltada para baixo e reta y=−1, região sombreada entre elas.)
(Esboço: parábola voltada para baixo e reta y=−1, região sombreada entre elas.)
Resposta
Região tipo I: D={(x,y):-1\le x\le1,;-1\le y\le- x^2}. Região tipo II: D={(x,y):-1\le y\le0,;-\sqrt{-y}\le x\le\sqrt{-y}}.