Reescreva cada região D abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região D.
D subset R^2 limitada pelas curvas y=-x^2+4 e y=|x|.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a região D limitada pelas curvas y = –x² + 4 (uma parábola voltada para baixo) e y = |x| (um “V”) como uma região simples do tipo I ou do tipo II, além de fazer um esboço.

Passo 2

Para encontrar os limites horizontais de D, resolvemos as interseções entre as curvas: |x| = –x² + 4. Para x ≥ 0 temos x² + x – 4 = 0, cuja raiz positiva é x = (–1 + √17)/2. Para x ≤ 0 temos x² – x – 4 = 0, raiz negativa x = (1 – √17)/2 = –(√17 – 1)/2. Logo, os pontos de interseção são x = ±(√17 – 1)/2.

Passo 3

Observe que, para cada x entre –(√17 – 1)/2 e (√17 – 1)/2, a reta vertical intercepta D num segmento que vai de y = |x| (fronteira inferior) até y = –x² + 4 (fronteira superior). Isso faz de D uma região do tipo I.

Passo 4

O esboço consiste em desenhar o eixo xy, plotar a parábola y = –x² + 4 (vértice em (0,4)) e o “V” y = |x|, marcando os pontos de interseção em x = ±(√17 – 1)/2. A região D é a faixa fechada entre essas duas curvas.

Resposta

D = l(x,y)inR^2 : -tfracraiz17-12 <= x <= tfracraiz17-12,; |x| <= y <= -x^2 + 4r

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