Reescreva cada região D abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região D.
D subset R^2 limitada pelas curvas x=y^2-1 e x-y-1=0.

Passo 1

O enunciado pede reescrever a região D ⊂ ℝ² limitada pelas curvas x = y² - 1 e x - y - 1 = 0 como região do tipo I ou do tipo II. Esse conteúdo envolve descrição de regiões para cálculo de integrais duplas e requer encontrar os pontos de interseção e lembrar as definições de região tipo I e II.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões de x: y² - 1 = y + 1, o que leva a y² - y - 2 = 0. As raízes são y = 2 e y = -1. Substituindo em x = y + 1, obtemos os pontos (0, -1) e (3, 2).

Passo 3

Como região do tipo I (varrendo em y): y varia de -1 até 2 e, para cada y, x varia da parábola (à esquerda) até a reta (à direita). Assim,
D = (x,y)mid -1 <= y <= 2,;y^2 - 1 <= x <= y + 1

Passo 4

Como região do tipo II (varrendo em x): x varia de 0 até 3 e, para cada x, as condições x ≥ y² - 1 e x ≤ y + 1 viram restrições em y. Logo,
D = (x,y)mid 0 <= x <= 3,;x - 1 <= y <= raizx + 1

Passo 5

No esboço, desenhe a parábola x = y^2 - 1 (abertura para a direita, vértice em (-1,0)) e a reta x = y + 1 (inclinação 1, passa por (0,-1)). A região D é o “lente” entre essas curvas, limitada pelos pontos de interseção (0,-1) e (3,2).

Resposta

Como tipo I:
$$D = {(x,y)\mid -1 \le y \le 2,;y^2 - 1 \le x \le y + 1}.
D = (x,y)mid -1 <= y <= 2,;y^2 - 1 <= x <= y + 1 D = {(x,y)\mid 0 \le x \le 3,;x - 1 \le y \le \sqrt{x + 1}}.
$$
Esboço: região entre a parábola D = (x,y)mid 0 <= x <= 3,;x - 1 <= y <= raizx + 1 e a reta x = y^2 - 1, de x = y + 1 até y = -1, formando um “lente” delimitado em y = 2 e (0,-1).

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