Reescreva cada região
abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região
.
limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede reescrever a região D ⊂ ℝ² limitada pelas curvas x = y² - 1 e x - y - 1 = 0 como região do tipo I ou do tipo II. Esse conteúdo envolve descrição de regiões para cálculo de integrais duplas e requer encontrar os pontos de interseção e lembrar as definições de região tipo I e II.
Passo 2
Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões de x: y² - 1 = y + 1, o que leva a y² - y - 2 = 0. As raízes são y = 2 e y = -1. Substituindo em x = y + 1, obtemos os pontos (0, -1) e (3, 2).
Passo 3
Como região do tipo I (varrendo em y): y varia de -1 até 2 e, para cada y, x varia da parábola (à esquerda) até a reta (à direita). Assim,
Passo 4
Como região do tipo II (varrendo em x): x varia de 0 até 3 e, para cada x, as condições x ≥ y² - 1 e x ≤ y + 1 viram restrições em y. Logo,
Passo 5
No esboço, desenhe a parábola
(abertura para a direita, vértice em
) e a reta
(inclinação 1, passa por
). A região D é o “lente” entre essas curvas, limitada pelos pontos de interseção
e
.
Resposta
Como tipo I:
$$D = {(x,y)\mid -1 \le y \le 2,;y^2 - 1 \le x \le y + 1}.
$$
Esboço: região entre a parábola e a reta
, de
até
, formando um “lente” delimitado em
e
.
Esboço: região entre a parábola