Reescreva cada região D abaixo como uma região do tipo I ou do tipo II. Faça um esboço da região D.
D subset R^2 limitada pelas curvas y=x^2+1 e y=10.

Passo 1

O enunciado pede para reescrever a região D limitada pelas curvas y = x² + 1 e y = 10 como uma região do tipo I (x fixo, y entre duas curvas) ou do tipo II (y fixo, x entre duas curvas) e fazer um esboço.

Passo 2

Para saber onde a parábola y = x² + 1 cruza a reta y = 10, igualamos:
x^2 + 1 = 10 implies x^2 = 9 implies x = pm 3

Passo 3

Como região do tipo I, x varia de -3 a 3 e, para cada x, y vai da parábola até a reta:
D = (x,y)mid -3 <= x <= 3,; x^2+1 <= y <= 10

Passo 4

Como região do tipo II, y varia do mínimo da parábola (y=1) até y=10 e, para cada y, x vai das raízes da parábola invertida:
D = (x,y)mid 1 <= y <= 10,; -raizy-1 <= x <= raizy-1

Passo 5

No esboço, desenhe a parábola y = x² + 1 (vértice em (0,1)) e a reta horizontal y = 10, marque os pontos de intersecção em x = ±3 e sombree a região entre elas.

Resposta

Como região tipo I:
$$D = {(x,y)\mid -3 \le x \le 3,; x^2+1 \le y \le 10}.
D = (x,y)mid -3 <= x <= 3,; x^2+1 <= y <= 10 ãD = {(x,y)\mid 1 \le y \le 10,; -\sqrt{y-1} \le x \le \sqrt{y-1}}.
$$
Esboço: parabola y = x² + 1 com vértice em (0,1) e reta horizontal y = 10; sombreie a região entre elas para x ∈ [−3,3].

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