Reescreva a equação x^2+2 x y+y^2-2 x+4 y=0 na nova base ortonormal após diagonalização da parte quadrática.
Escolha uma opção:
a. 2 X^2+raiz2 Y=0
b. Nenhuma das alternativas
c. X^2+2 Y^2=1
d. X^2+Y^2-2 X=0
e. 2 X^2-Y^2+4 Y=0

Passo 1

O enunciado dá a curva de segundo grau
x^2 + 2xy + y^2 - 2x + 4y = 0
e pede para reescrevê-la em uma base ortonormal que diagonalize a parte quadrática. O conteúdo aqui é diagonalização de forma quadrática por mudança de variáveis ortonormal (autovetores de uma matriz simétrica), mantendo a origem fixa.

Passo 2

A parte quadrática é
Calculamos os autovalores de :
e .

Passo 3

Os autovetores correspondentes podem ser escolhidos (e ortonormalizados) como
v1 = 1raiz211, v2 = 1raiz21-1
Definimos as novas variáveis (X,Y) por
X = x+yraiz2, Y = x-yraiz2
Inversamente,
x = X+Yraiz2, y = X - Yraiz2

Passo 4

Na nova base, a parte quadrática vira
x^2 + 2xy + y^2 = 2X^2 + 0cdot Y^2 = 2X^2

Passo 5

Agora escrevemos o termo linear -2x+4y em X,Y:
-2x+4y = -2X+Yraiz2 +4X - Yraiz2 = -2X -2Y +4X -4Yraiz2 = raiz2,X -3raiz2,Y

Passo 6

Juntando tudo, a equação fica
2X^2 ;+;raiz2,X;-;3raiz2,Y ;=;0
Nenhuma das opções dadas coincide com essa forma.

Resposta

b. Nenhuma das alternativas

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