Represente as funções abaixo por meio de séries de potências utilizando as conhecidas, diferenciação e integração de séries de potências.
Passo 1
O enunciado pede para representar a função
por meio de uma série de potências.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
.
O que se pede: - Encontrar uma série de potências que represente
e indicar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.
Passo 2
Lembrar a série geométrica conhecida e por que ela vale: para um número (ou variável)
com
vale
Explicação curta: somando os
primeiros termos obtém-se
. Quando
tem-se
quando
, portanto
, o que justifica a igualdade da série com a função.
Passo 3
Fazer uma substituição conveniente para chegar em
. Escolhe-se
. Observe que
Aplicando a série geométrica com
obtemos, para
,
O lado esquerdo é exatamente
, e no lado direito podemos simplificar as potências:
Passo 4
Simplificar os termos da soma e escrever a série explicitamente:
Portanto, para
,
Isto dá a série de potências centrada em
(série de Maclaurin) da função, com termos
.
Passo 5
Verificação via integração/diferenciação (conexão útil para a prova): integrando termo a termo a série encontrada (operações válidas dentro do raio de convergência) obtemos
O lado esquerdo é
, logo surge a conhecida série de
:
Diferenciando essa série recupera-se
, confirmando consistência.
Passo 6
Discutir convergência nas fronteiras: a série
tem raio de convergência
. Para
a sequência de termos não tende a zero (são
), portanto a série diverge em
. Assim a igualdade por série vale estritamente para
.
Passo 7
Exemplo prático (para usar na prova): os primeiros termos da expansão são
o que permite aproximações simples para
.