Represente as funções abaixo por meio de séries de potências utilizando as conhecidas, diferenciação e integração de séries de potências.
\frac{1}{1+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para representar a função \dfrac{1}{1+x^{2}} por meio de uma série de potências.
Informações dadas:
  • A função é \dfrac{1}{1+x^{2}}.
    O que se pede:
  • Encontrar uma série de potências que represente \dfrac{1}{1+x^{2}} e indicar o intervalo (ou raio) de convergência dessa série.

Passo 2

Lembrar a série geométrica conhecida e por que ela vale: para um número (ou variável) t com |t|<1 vale
\frac{1}{1-t}=\sum_{n=0}^{\infty} t^{n}.
Explicação curta: somando os N+1 primeiros termos obtém-se S_N=1+t+\cdots+t^{N}=\dfrac{1-t^{N+1}}{1-t}. Quando |t|<1 tem-se t^{N+1}\to0 quando N\to\infty, portanto S_N\to\dfrac{1}{1-t}, o que justifica a igualdade da série com a função.

Passo 3

Fazer uma substituição conveniente para chegar em \dfrac{1}{1+x^{2}}. Escolhe-se t=-x^{2}. Observe que
|t|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|^{2}<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<1.
Aplicando a série geométrica com t=-x^{2} obtemos, para |x|<1,
\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}.
O lado esquerdo é exatamente \dfrac{1}{1+x^{2}}, e no lado direito podemos simplificar as potências:

Passo 4

Simplificar os termos da soma e escrever a série explicitamente:
\sum_{n=0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.
Portanto, para |x|<1,
\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}.
Isto dá a série de potências centrada em 0 (série de Maclaurin) da função, com termos 1,-x^{2},+x^{4},-x^{6},\dots.

Passo 5

Verificação via integração/diferenciação (conexão útil para a prova): integrando termo a termo a série encontrada (operações válidas dentro do raio de convergência) obtemos
\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{2}}\,dt=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{2n}\,dt=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}.
O lado esquerdo é \arctan x, logo surge a conhecida série de \arctan x:
\arctan x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1},\qquad |x|<1.
Diferenciando essa série recupera-se \dfrac{1}{1+x^{2}}, confirmando consistência.

Passo 6

Discutir convergência nas fronteiras: a série \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n} tem raio de convergência 1. Para x=\pm1 a sequência de termos não tende a zero (são 1,-1,1,-1,\dots), portanto a série diverge em x=\pm1. Assim a igualdade por série vale estritamente para |x|<1.

Passo 7

Exemplo prático (para usar na prova): os primeiros termos da expansão são
\frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots,
o que permite aproximações simples para |x|<1.

Resposta

\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots,\qquad |x|<1.

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