Reescreva as expressões abaixo como uma única série de potências.
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para reescrever cada combinação de séries de potências
como uma única série da forma .
O conteúdo principal é a reindexação de somatórios para igualar os expoentes e, em seguida, somar os coeficientes correspondentes.
como uma única série da forma
O conteúdo principal é a reindexação de somatórios para igualar os expoentes e, em seguida, somar os coeficientes correspondentes.
Passo 2
Parte (a):
Temos
Temos
Na primeira série, faça
, então
e
varia de
a
:
Na segunda, faça
, então
e
varia de
a
:
Passo 3
Agora ambas começam em
. Definindo
como coeficiente de
, temos
e, para
,
Logo a série única fica
onde por convenção
.
Passo 4
Parte (b):
Temos três séries
Temos três séries
Reindexe a segunda: seja
, então
e
vai de
a
:
Passo 5
Para obter a única série
, somamos termo a termo:
- Em
só contribui a segunda série: - Em
contribuem a segunda (com ) e a terceira: - Para
há contribuições das três:
da primeira vem, da terceira e da segunda .
Assim
Resposta
(a)
, com
.
(b) , onde
(b)