Reescreva as expressões abaixo como uma única série de potências.
a) sumn=1^infty 2 n cn x^n-1+sumn=0^infty 6 cn x^n+1
b) sumn=2^infty n(n-1) cn x^n+2 sumn=2^infty n(n-1) cn x^n-2+3 sumn=1^infty n cn x^n

Passo 1

O enunciado pede para reescrever cada combinação de séries de potências
como uma única série da forma sumn=0^inftyanx^n.
O conteúdo principal é a reindexação de somatórios para igualar os expoentes e, em seguida, somar os coeficientes correspondentes.

Passo 2

Parte (a):
Temos
sumn=1^infty2n,cnx^n-1 e sumn=0^infty6,cnx^n+1
Na primeira série, faça m=n-1, então n=m+1 e m varia de 0 a infty:
sumn=1^infty2n,cnx^n-1 =summ=0^infty2(m+1),cm+1,x^m
Na segunda, faça m=n+1, então n=m-1 e m varia de 1 a infty:
sumn=0^infty6,cnx^n+1 =summ=1^infty6,cm-1,x^m

Passo 3

Agora ambas começam em m=0. Definindo dm como coeficiente de x^m, temos
d0=2cdot1,c1=2c1,
e, para m>=1,
dm=2(m+1),cm+1+6,cm-1
Logo a série única fica
summ=0^inftyl(2(m+1),cm+1+6,cm-1r)x^m,
onde por convenção c-1=0.

Passo 4

Parte (b):
Temos três séries
sumn=2^inftyn(n-1)cnx^n, 2sumn=2^inftyn(n-1)cnx^n-2, 3sumn=1^inftyn,cnx^n
Reindexe a segunda: seja m=n-2, então n=m+2 e m vai de 0 a infty:
2sumn=2^inftyn(n-1)cnx^n-2 =summ=0^infty2(m+2)(m+1)cm+2,x^m

Passo 5

Para obter a única série summ=0^inftyemx^m, somamos termo a termo:
  • Em m=0 só contribui a segunda série: e0=2cdot2cdot1,c2=4c2
  • Em m=1 contribuem a segunda (com m+2=3) e a terceira: e1=2cdot3cdot2,c3+3cdot1,c1=12c3+3c1
  • Para m>=2 há contribuições das três:
    da primeira vem m(m-1)cm, da terceira 3m,cm e da segunda 2(m+2)(m+1)cm+2.
    Assim em =m(m-1)cm+3m,cm+2(m+2)(m+1)cm+2 =m(m+2)cm+2(m+2)(m+1)cm+2

Resposta

(a) sumn=0^inftyl(2(n+1)cn+1+6,cn-1r)x^n, com c-1=0.
(b) sumn=0^inftyenx^n, onde
e0=4c2, e1=12c3+3c1, en=n(n+2)cn+2(n+2)(n+1)cn+2(forall n>=2)

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