Represente as funções abaixo por meio de séries de potências utilizando as conhecidas, diferenciação e integração de séries de potências.
1x+2

Passo 1

O enunciado pede para escrever
1x+2
como série de potências em torno de x=0.
O conteúdo usado será a série geométrica
11-u=sumn=0^inftyu^n, |u|<1,
e manipulações algébricas para pôr nossa função nessa forma.

Passo 2

Rewrite 1x+2 factorizando 2:
1x+2 =12,11+tfracx2 =12,11-(-tfracx2)

Passo 3

Agora aplicamos a série geométrica com u=-tfracx2, que converge se l| -tfracx2 r| < 1, i.e.\ |x| < 2 :
11 - (-tfracx2) = sumn=0^infty l(-tfracx2r)^n = sumn=0^infty (-1)^n x^n2^n
Multiplicando tfrac12 por essa série,

Passo 4

obtemos
1x+2 =12sumn=0^infty(-1)^nx^n2^n =sumn=0^infty(-1)^n2^n+1,x^n,
válido para |x|<2.

Resposta

1x+2 =sumn=0^infty(-1)^n2^,n+1,x^n, |x|<2

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