Calcule as seguintes integrais:
integral x raiz[3]3+2 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a antiderivada de
integral x raiz[3]3+2x^2,dx
O conteúdo aqui é integração por substituição, pois dentro da raiz de grau 3 aparece a expressão 3+2x^2 e seu derivado 4x está junto multiplicando.

Passo 2

Fazemos a troca de variável
u = 3 + 2x^2,
logo
du = 4x,dx Longrightarrow x,dx = 14,du
Assim transformamos a integral original.

Passo 3

Substituindo em
integral x (3+2x^2)^1/3,dx
vem
integral u^1/3,14,du = 14integral u^1/3,du

Passo 4

Para integral u^1/3,du usamos a regra integral u^n du = tfracu^n+1n+1. Aqui n=tfrac13, então
integral u^1/3,du = u^4/34/3 = 34u^4/3
Multiplicando pelo fator tfrac14
14cdot34u^4/3 = 316u^4/3

Passo 5

Voltando à variável x, basta reescrever u=3+2x^2:
316u^4/3 + C = 316l(3+2x^2r)^4/3 + C

Resposta

integral x raiz[3]3+2x^2,dx = 316l(3+2x^2r)^4/3 + C

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