Reescreva as expressões abaixo utilizando as propriedades do logaritmo. Complete as incógnitas com os números corretos que faltam.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede que se reescreva usando propriedades do logaritmo e que se complete a incógnita
. Informações relevantes:
- Os argumentos
, , e devem ser positivos para os logaritmos estarem definidos. - A base é
(maior que e diferente de ), então as propriedades usuais dos logaritmos valem.
Passo 2
Propriedade fundamental que vou usar (explico o porquê dela funcionar): para
,
, e
,
,
O raciocínio por trás: o logaritmo transforma produto/divisão em soma/subtração porque é o inverso da exponenciação; essa fórmula diz que subtrair dois logs de mesma base equivale a tomar o log do quociente dos argumentos. Aqui todos os logs têm base
, então podemos aplicar diretamente.
Passo 3
Aplicando a propriedade ao lado esquerdo da igualdade:
Passo 4
Simplificar a fração
. Fatorial comum:
e
(peguei esses fatores por observação simples dos números). Cancelando o
:
Logo
Passo 5
Reescrevendo o lado direito dado no enunciado, usa-se a mesma propriedade:
Como os dois lados do enunciado são iguais, obtém-se
A função
é injetora em
, portanto os argumentos devem ser iguais:
Dividindo ambos os lados por
(número positivo), obtém-se
, portanto
.