Reescreva as expressões abaixo utilizando as propriedades do logaritmo. Complete as incógnitas com os números corretos que faltam.
\log _{5} 175-\log _{5} 375=\log _{5}(7)-\log _{5}\text{(C)}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade
\log_{5}175-\log_{5}375=\log_{5}7-\log_{5}C
e pede que se reescreva usando propriedades do logaritmo e que se complete a incógnita C. Informações relevantes:
  • Os argumentos 175, 375, 7 e C devem ser positivos para os logaritmos estarem definidos.
  • A base é 5 (maior que 0 e diferente de 1), então as propriedades usuais dos logaritmos valem.

Passo 2

Propriedade fundamental que vou usar (explico o porquê dela funcionar): para a>0, a\neq1, e x>0, y>0,
\log_{a}x-\log_{a}y=\log_{a}\!\left(\frac{x}{y}\right).
O raciocínio por trás: o logaritmo transforma produto/divisão em soma/subtração porque é o inverso da exponenciação; essa fórmula diz que subtrair dois logs de mesma base equivale a tomar o log do quociente dos argumentos. Aqui todos os logs têm base 5, então podemos aplicar diretamente.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao lado esquerdo da igualdade:
\log_{5}175-\log_{5}375=\log_{5}\!\left(\frac{175}{375}\right).

Passo 4

Simplificar a fração \dfrac{175}{375}. Fatorial comum: 175=25\cdot7 e 375=25\cdot15 (peguei esses fatores por observação simples dos números). Cancelando o 25:
\frac{175}{375}=\frac{25\cdot7}{25\cdot15}=\frac{7}{15}.
Logo
\log_{5}175-\log_{5}375=\log_{5}\!\left(\frac{7}{15}\right).

Passo 5

Reescrevendo o lado direito dado no enunciado, usa-se a mesma propriedade:
\log_{5}7-\log_{5}C=\log_{5}\!\left(\frac{7}{C}\right).
Como os dois lados do enunciado são iguais, obtém-se
\log_{5}\!\left(\frac{7}{15}\right)=\log_{5}\!\left(\frac{7}{C}\right).
A função \log_{5} é injetora em (0,\infty), portanto os argumentos devem ser iguais:
\frac{7}{15}=\frac{7}{C}.
Dividindo ambos os lados por 7 (número positivo), obtém-se \dfrac{1}{15}=\dfrac{1}{C}, portanto C=15.

Resposta

C=15

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