Reescreva as expressões a seguir, colocando algum termo em evidência e simplificando o resultado sempre que possível.
3 x^{5}-9 x^{4}+18 x^{7}

Passo 1

O enunciado pede para “colocar algum termo em evidência” na expressão
3 x^{5}-9 x^{4}+18 x^{7}.
Ou seja, encontrar um fator comum a todos os termos e escrevê‑la como produto desse fator comum por um polinômio mais simples. Vou listar os dados importantes que temos:
  • Os coeficientes são \,3,\,-9,\,18.
  • As potências de x são x^{5},\,x^{4},\,x^{7}.
    O objetivo é fatorar tirando o maior fator comum possível.

Passo 2

Procuro primeiro o maior fator numérico comum aos coeficientes \,3,\,-9,\,18.
  • O maior divisor comum desses números é 3 (pois 3 divide todos: 3/3=1,\;-9/3=-3,\;18/3=6).
Agora procuro a maior potência de x que divide todos os termos.
  • As potências presentes são x^{5},\,x^{4},\,x^{7}; a menor delas é x^{4}. Portanto x^{4} é a maior potência comum.
Concluo que o maior fator comum a todos os termos é 3x^{4}.

Passo 3

Vou dividir cada termo por 3x^{4} e escrever a expressão como 3x^{4} vezes o quociente:
Calculemos cada quociente:
\frac{3x^{5}}{3x^{4}} = x, \qquad \frac{-9x^{4}}{3x^{4}} = -3, \qquad \frac{18x^{7}}{3x^{4}} = 6x^{3}.
Portanto a expressão fatorada fica
3x^{4}\bigl(x - 3 + 6x^{3}\bigr).

Passo 4

Organizo o polinômio dentro dos parênteses em ordem de graus decrescentes (estilo padrão) e verifico se dá para fatorar mais:
3x^{4}\bigl(6x^{3} + x - 3\bigr).
Agora avalio se o polinômio 6x^{3}+x-3 tem um fator comum não óbvio ou raízes racionais simples (usaríamos o Teorema das Raízes Racionais). Testando raízes inteiras simples:
x=1:\\\ 6+1-3=4\neq0,\qquad x=-1:\\\ -6-1-3=-10\neq0,\qquad x=3:\\\ 162+3-3=162\neq0.
Não há raízes racionais óbvias entre esses candidatos, então não há fatoração racional trivial adicional. Assim a fatoração máxima (sobre os racionais) é
3x^{4}\bigl(6x^{3}+x-3\bigr).

Passo 5

Resumo rápido de técnica (dica prática para a prova): sempre comece procurando o maior fator numérico comum e a menor potência de x presente em todos os termos; fatorando isso, verifique se o polinômio remanescente admite fatoração adicional (testando raízes racionais simples ou fatoração por agrupamento). Exemplo rápido: fatorando 4x^{3}+8x^{2} tira‑se 4x^{2} e sobra x+2, ou seja
4x^{3}+8x^{2}=4x^{2}(x+2).

Resposta

3x^{4}\bigl(6x^{3}+x-3\bigr)

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