Reescreva as expressões a seguir, colocando algum termo em evidência e simplificando o resultado sempre que possível.
Passo 1
O enunciado pede para “colocar algum termo em evidência” na expressão
Ou seja, encontrar um fator comum a todos os termos e escrevê‑la como produto desse fator comum por um polinômio mais simples. Vou listar os dados importantes que temos:
- Os coeficientes são
. - As potências de
são .
O objetivo é fatorar tirando o maior fator comum possível.
Passo 2
Procuro primeiro o maior fator numérico comum aos coeficientes
.
- O maior divisor comum desses números é
(pois divide todos: ).
Agora procuro a maior potência de
que divide todos os termos.
- As potências presentes são
; a menor delas é . Portanto é a maior potência comum.
Concluo que o maior fator comum a todos os termos é
.
Passo 3
Vou dividir cada termo por
e escrever a expressão como
vezes o quociente:
Calculemos cada quociente:
Portanto a expressão fatorada fica
Passo 4
Organizo o polinômio dentro dos parênteses em ordem de graus decrescentes (estilo padrão) e verifico se dá para fatorar mais:
Agora avalio se o polinômio
tem um fator comum não óbvio ou raízes racionais simples (usaríamos o Teorema das Raízes Racionais). Testando raízes inteiras simples:
Não há raízes racionais óbvias entre esses candidatos, então não há fatoração racional trivial adicional. Assim a fatoração máxima (sobre os racionais) é
Passo 5
Resumo rápido de técnica (dica prática para a prova): sempre comece procurando o maior fator numérico comum e a menor potência de
presente em todos os termos; fatorando isso, verifique se o polinômio remanescente admite fatoração adicional (testando raízes racionais simples ou fatoração por agrupamento). Exemplo rápido: fatorando
tira‑se
e sobra
, ou seja