Reescreva as frases abaixo usando desigualdades modulares.
a) A distância entre x e 5 é superior a 3 .

Passo 1

O enunciado diz: "A distância entre x e 5 é superior a 3". O que se pede é reescrever essa frase usando uma desigualdade modular (ou seja, usando o símbolo de valor absoluto). Informação importante dada: a distância entre dois pontos do eixo real é maior que 3.

Passo 2

Entender o que significa "distância entre x e 5". Por convenção, a distância entre dois números a e b no eixo real é o valor absoluto da diferença entre eles, isto é |a-b|. Aqui, a distância entre x e 5 é portanto
|x-5|.
Explicando de forma simples: |x-5| mede quantos “passos” em valor absoluto separam x de 5.

Passo 3

Substituir a expressão "distância entre x e 5" pela expressão matemática |x-5| e traduzir "é superior a 3" por “ >\,3”. Assim obtemos a desigualdade modular direta:
|x-5|>3.

Passo 4

Vou te ensinar como pensar em desigualdades do tipo |u|>a (com a>0), porque isso serve para você resolver rápido na prova. A regra é:
|u|>a \quad\Longleftrightarrow\quad u>a \quad\text{ou}\quad u<-a.
Intuição: |u|>a significa que a distância de u até 0 é maior que a, portanto u está fora do intervalo (-a,a)—ou fica à direita (maior que a) ou à esquerda (menor que -a).

Passo 5

Aplicando a regra com u=x-5 e a=3, temos
|x-5|>3 \quad\Longleftrightarrow\quad x-5>3 \quad\text{ou}\quad x-5<-3.
Agora resolvemos cada desigualdade linear:
x-5>3 \;\Longrightarrow\; x>8,
x-5<-3 \;\Longrightarrow\; x<2.
Portanto a desigualdade modular é equivalente à condição composta x<2 ou x>8.

Passo 6

Alguns testes rápidos para fixar:
  • Se x=9: |9-5|=4>3 — satisfaz.
  • Se x=6: |6-5|=1\le3 — não satisfaz.
  • Se x=1: |1-5|=4>3 — satisfaz.
    Vai dar tudo certo na prova; você já sabe traduzir e resolver esse tipo de desigualdade.

Resposta

|x-5|>3
x<2 \text{ ou } x>8

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