Reescreva as funções a seguir como série de MacLaurin (série de Taylor centrada em 0):
Passo 1
A função é f(x)=x² ln(1+x), e como queremos a série de Maclaurin (ou seja, o desenvolvimento em torno de x=0), vamos precisar do desenvolvimento conhecido de ln(1+x) e então multiplicar por x².
Passo 2
A série de Maclaurin de ln(1+x) para |x|<1 é dada por:
Isso vem de integrar a série de 1/(1+x) termo a termo.
Passo 3
Agora é só multiplicar termo a termo por x². Logo,
Passo 4
Para deixar o índice mais intuitivo, definimos k=n+2. Então n=k-2 e, quando n=1, k=3. Assim:
Resposta
A série de Maclaurin de x² ln(1+x) é
ou, reindexando,
que expande em