Reescreva as funções a seguir como série de MacLaurin (série de Taylor centrada em 0):
f(x)=x^2 ln (1+x)

Passo 1

A função é f(x)=x² ln(1+x), e como queremos a série de Maclaurin (ou seja, o desenvolvimento em torno de x=0), vamos precisar do desenvolvimento conhecido de ln(1+x) e então multiplicar por x².

Passo 2

A série de Maclaurin de ln(1+x) para |x|<1 é dada por:
ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn
Isso vem de integrar a série de 1/(1+x) termo a termo.

Passo 3

Agora é só multiplicar termo a termo por x². Logo,
x^2ln(1+x)=x^2sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn= sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+2n

Passo 4

Para deixar o índice mais intuitivo, definimos k=n+2. Então n=k-2 e, quando n=1, k=3. Assim:
x^2ln(1+x)=sumk=3^infty(-1)^k-3x^kk-2

Resposta

A série de Maclaurin de x² ln(1+x) é
x^2ln(1+x)=sumn=1^infty(-1)^n-1x^n+2n
ou, reindexando,
x^2ln(1+x)=sumk=3^infty(-1)^k-3x^kk-2
que expande em
x^3-x^42+x^53-x^64+cdots

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