38.Determine a área da parte do cone z^{2}=a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right) entre os planos z=1 e z=2

Passo 1

Vamos resumir o que temos e o que vamos usar. O enunciado pede a área da parte lateral do cone
z^{2}=a^{2}(x^{2}+y^{2})
entre os planos z=1 e z=2.
O conteúdo necessário é cálculo de integral de superfície usando coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro note que, tomando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e escolhendo a parte superior do cone z>0, temos
z = a\,r.
Os planos z=1 e z=2 correspondem em coordenadas polares a
r_{1}=\frac{1}{a} \quad\text{e}\quad r_{2}=\frac{2}{a}.

Passo 3

A fórmula da área de superfície para z=f(r,\theta) é
A=\iint_{D}\sqrt{1 + (\partial_{r}f)^{2} + \frac{1}{r^{2}}(\partial_{\theta}f)^{2}}\;r\,dr\,d\theta.
Como f(r,\theta)=a\,r, temos \partial_{r}f=a e \partial_{\theta}f=0.
Assim o integrando vira \sqrt{1+a^{2}}\;r.

Passo 4

Então a área é
A =\sqrt{1+a^{2}} \int_{0}^{2\pi}\!\int_{1/a}^{2/a}r\,dr\,d\theta =\sqrt{1+a^{2}}\;\bigl(2\pi\bigr)\;\frac{1}{2}\Bigl(\bigl(\tfrac{2}{a}\bigr)^{2}-\bigl(\tfrac{1}{a}\bigr)^{2}\Bigr) =\frac{3\pi\sqrt{1+a^{2}}}{a^{2}}.

Resposta

A = \frac{3\pi\sqrt{1+a^{2}}}{a^{2}}.

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