7*. Seja P:=a=t0<t1<cdots<tn=b uma partição de um intervalo [a, b]. Um pontilhamento de P é uma escolha de pontos xii in[ti-1, ti] para cada i=1, ldots, n. Uma partição pontilhada é um par Pxi=(P, xi), onde xi=(xi1, ldots, xin) é um pontilhamento de P. Se f:[a, b] R é uma função limitada, definimos a soma de Riemann de f com relação a uma partição pontilhada Pxi como
S(f, Pxi):=sumi=1^n f(xii)(ti-ti-1)
(i) Mostre que
S(f, P) <= S(f, Pxi) <= barS(f, P)
onde S e barS denotam as somas inferior e superior de f com relação à partição P, respectivamente.
(ii) A malha de uma partição P é definida por
|P|:=max De<a ti mid i=1, ldots, n
onde De<a ti:=ti-ti-1 para cada i=1, ldots, n. Dizemos que um número real I é o limite da soma de Riemann S(f, Pxi) quando a malha |P| tende a zero se, para cada varepsilon>0, existe um de<a>0 tal que
|S(f, Pxi)-I|<varepsilon
para qualquer partição pontilhada Pxi tal que |P|<de<a. Mostre que tal limite existe se e somente se f é integrável. Neste caso,
I=integrala^b f(x) d x
Ou seja, podemos definir a integral alternativamente como o limite de somas de Riemann no sentido descrito acima, o que fornece uma definição alternativa à vista em aula para a integral.

Passo 1

O enunciado define para f:[a,b]toR limitada e uma partição
P:;a=t0<t1<cdots<tn=b
os valores
S(f,P) =sumi=1^nmi,(ti-ti-1), bar S(f,P) =sumi=1^nMi,(ti-ti-1),
onde mi=inf[ti-1,ti]f e Mi=sup[ti-1,ti]f.
Para cada escolha de pontos xiiin[ti-1,ti] definimos a soma de Riemann
S(f,Pxi) =sumi=1^nf(xii),(ti-ti-1)
Precisamos (i) mostrar underline S<=S<=bar S e (ii) provar que
S(f,Pxi) converge para um I quando |P|to0
se e somente se f é (Riemann) integrável, e nesse caso I=integrala^bf(x),dx.

Passo 2

Em cada subintervalo [ti-1,ti] temos por definição
mi ;=;inf[ti-1,ti]f ;<=; f(xii) ;<=;sup[ti-1,ti]f ;=;Mi
Multiplicando toda desigualdade por De<a ti=ti-ti-1>=0 e somando para i=1,dots,n obtém-se
sumi=1^n mi,De<a ti ;<=; sumi=1^n f(xii),De<a ti ;<=; sumi=1^n Mi,De<a ti,
isto é
S(f,P) ;<=; S(f,Pxi) ;<=; barS(f,P)

Passo 3

Suponha que f é integrável, ou seja
I:=supPS(f,P) ;=; infPbar S(f,P) ;=; I
Dado varepsilon>0, existe uma partição P tal que
bar S(f,P)-underline S(f,P)<varepsilon.
Para qualquer refinamento ,P' (em particular toda partição com malha menor)
e qualquer escolha de pontos xi, pelo Passo 2 underline S(f,P')<=S(f,P'xi)<=bar S(f,P').
Mas underline S(f,P')>=underline S(f,P) e
bar S(f,P')<=bar S(f,P), logo
l|S(f,P'xi)-Ir| <=maxlI-underline S(f,P),,bar S(f,P)-Ir <varepsilon
Isso mostra que S(f,Pxi)to I quando |P|to0.

Passo 4

Agora suponha que existe IinR tal que
S(f,Pxi)to I sempre que |P|to0.
Dado varepsilon>0, escolha de<a>0 tal que
l|S(f,Pxi)-Ir|<tfracvarepsilon2
sempre que |P|<de<a.
Para qualquer tal P e qualquer escolha de xi vale
underline S(f,P)<=S(f,Pxi)<=bar S(f,P),
logo
underline S(f,P) > I-tfracvarepsilon2, bar S(f,P) < I+tfracvarepsilon2,
e daí
bar S(f,P)-underline S(f,P)<varepsilon.
Isso força
supPunderline S(f,P) =infPbar S(f,P),
isto é, f é integrável e o valor comum é I.

Resposta

O item (i) foi provado pelas desigualdades locais mi<= f(xii)<= Mi.
O item (ii) segue porque, se f é integrável, as somas de Riemann ficam presas entre soma inferior e superior que se aproximam do mesmo limite; e recíproco, se todas as somas de Riemann convergem a um I, a diferença entre soma superior e inferior tende a zero, garantindo integrabilidade. Nesse caso
lim|P|to0S(f,Pxi) ;=; integrala^bf(x),dx

Exercícios relacionados