Reescreva o limite
lim theta pi / 3 cos theta-0.5theta-pi / 3
na forma de uma derivada e, em seguida, calcule o limite.

Passo 1

O enunciado pede para reconhecer o limite
limtheta to pi/3 costheta - 0,5theta - pi/3
como a definição de derivada de uma função em um ponto, mais precisamente da função f(theta)=costheta no ponto theta=pi/3. Vamos usar a definição de derivada para reescrever esse limite.

Passo 2

A definição de derivada de uma função f em um ponto a é
f'(a) = limx to a f(x) - f(a)x - a
Aqui, identificamos f(theta)=costheta e a=pi/3. Note que f(a)=cos(pi/3)=0,5. Portanto o nosso limite é exatamente
limtheta to pi/3 f(theta)-f(a)theta-a = f'l(tfracpi3r)

Passo 3

Agora basta calcular a derivada de f(theta)=costheta. Sabemos que
f'(theta) = -sintheta
Logo
f'l(tfracpi3r) = -sinl(tfracpi3r)

Passo 4

Como sin(pi/3)=tfracraiz32, concluímos que
f'l(tfracpi3r) = -raiz32

Resposta

-raiz32

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