(Valor 3,5 pontos.) Seja
a região no primeiro quadrante limitada pelo gráfico da função
, a reta
e o eixo
.
(a) Calcule a área da região
.
(b) Calcule o volume do sólido de revolução gerado quando a região
é rotacionada em torno do eixo
.
(a) Calcule a área da região
(b) Calcule o volume do sólido de revolução gerado quando a região
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a região
no primeiro quadrante limitada por
Parte (a) requer a área de
, usando integração definida de funções de
.
Parte (b) quer o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo
, para o qual usaremos o método das cascas cilíndricas.
Parte (b) quer o volume do sólido obtido ao girar
Passo 2
Precisamos dos limites em
. As curvas
e
se interceptam quando
No primeiro quadrante só vale
. Como também somos limitados por
, os limites em
são de
a
.
Passo 3
A área de
é dada por
Calculemos:
Passo 4
Para o volume pelo método das cascas cilíndricas, cada casca em
tem raio
, altura
e espessura
. Logo
Agora integramos:
Portanto
Resposta
Área de
:
Volume do sólido de revolução:
Volume do sólido de revolução: