(Valor 3,5 pontos.) Seja R a região no primeiro quadrante limitada pelo gráfico da função y=x^2, a reta y=x+2 e o eixo y.
(a) Calcule a área da região R.
(b) Calcule o volume do sólido de revolução gerado quando a região R é rotacionada em torno do eixo y.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a região R no primeiro quadrante limitada por
y = x^2, y = x + 2e x=0
Parte (a) requer a área de R, usando integração definida de funções de x.
Parte (b) quer o volume do sólido obtido ao girar R em torno do eixo y, para o qual usaremos o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Precisamos dos limites em x. As curvas y=x^2 e y=x+2 se interceptam quando
x^2 = x + 2 Longrightarrow x^2 - x - 2 = 0 Longrightarrow x = 1pmraiz1+82 = -1,,2
No primeiro quadrante só vale x=2. Como também somos limitados por x=0, os limites em x são de 0 a 2.

Passo 3

A área de R é dada por
Área = integralx=0^2 l[,(x+2) - (x^2)r],dx Á
Calculemos:
integral0^2 (x + 2 - x^2),dx = [x^22 + 2x - x^33]0^2 = l(42 + 4 - 83r) - 0 = 2 + 4 - 83 = 103

Passo 4

Para o volume pelo método das cascas cilíndricas, cada casca em x tem raio x, altura (x+2)-x^2 e espessura dx. Logo
V = 2pi integral0^2 xl[(x+2) - x^2r],dx = 2pi integral0^2 (x^2 + 2x - x^3),dx
Agora integramos:
integral0^2 (x^2 + 2x - x^3),dx = [x^33 + x^2 - x^44]0^2 = l(83 + 4 - 4r) = 83
Portanto
V = 2pi cdot 83 = 16pi3

Resposta

Área de R: 103
Volume do sólido de revolução: 16pi3

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