Reescreva usando radiciação:
\log _{5} \sqrt{125}

Passo 1

O enunciado dá a expressão \log_{5}\sqrt{125} e pede para reescrevê-la usando radiciação (e, implicitamente, simplificá-la). Informação relevante fornecida:
  • A expressão original é \log_{5}\sqrt{125}.
  • \sqrt{125} é a raiz quadrada (segunda raiz) de 125.
    A partir daqui vamos transformar a raiz em potência fracionária, usar propriedades de potências e de logaritmos e chegar ao valor final.

Passo 2

Entendendo radiciação como potência fracionária: a notação de raiz e a potência fracionária estão relacionadas pela fórmula
\sqrt[n]{a}=a^{1/n}.
No caso da raiz quadrada, n=2, então
\sqrt{a}=a^{1/2}.
Aplicando isso ao nosso argumento, temos \sqrt{125}=125^{1/2}. Isso é só trocar o símbolo de raiz por uma potência com expoente \tfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora observe que 125 é uma potência de 5. Como
5^3=5\cdot5\cdot5=125,
podemos escrever 125 como 5^3. Vou usar isso dentro da potência fracionária:
\sqrt{125}=(125)^{1/2}=(5^3)^{1/2}.
Aqui usei a informação de que 125=5^3, que veio do próprio enunciado (o número 125 estava na imagem/texto).

Passo 4

Usando a propriedade de potências (a^m)^n=a^{mn}, obtemos
(5^3)^{1/2}=5^{3\cdot(1/2)}=5^{3/2}.
Portanto o argumento do logaritmo fica 5^{3/2}, e a expressão original é
\log_{5}\sqrt{125}=\log_{5}\bigl(5^{3/2}\bigr).

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade básica dos logaritmos: \log_{b}(b^x)=x para b>0, b\neq1. Assim,
\log_{5}\bigl(5^{3/2}\bigr)=\tfrac{3}{2}.
Uma alternativa equivalente (passo extra didático) é usar \log_{b}(a^c)=c\log_{b}a:
\log_{5}\sqrt{125}=\log_{5}\bigl(125^{1/2}\bigr)=\tfrac{1}{2}\log_{5}125=\tfrac{1}{2}\log_{5}5^3=\tfrac{1}{2}\cdot 3=\tfrac{3}{2}.

Resposta

\tfrac{3}{2}

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