Expresse como um único logaritmo:
3 \log _{4} 4

Passo 1

O enunciado pede: "Expresse como um único logaritmo: 3 \log_{4} 4".
Informações dadas: o coeficiente multiplicando o logaritmo é 3; a base do logaritmo é 4; o argumento do logaritmo é 4.

Passo 2

Propiedade que vamos usar (expliquei passo a passo): para qualquer base a>0, a\neq1, qualquer argumento b>0 e qualquer número real k, vale
k\log_{a} b = \log_{a}\bigl(b^{k}\bigr).
Por que isso é verdade? Seja \log_{a} b = c. Por definição de logaritmo, isto significa que a^{c}=b. Elevando ambos os lados à potência k obtemos a^{ck}=b^{k}. Aplicando logaritmo de base a nos dois lados dá \log_{a}\bigl(a^{ck}\bigr)=\log_{a}\bigl(b^{k}\bigr). O lado esquerdo simplifica para ck porque \log_{a}(a^{x})=x. Assim ck=\log_{a}\bigl(b^{k}\bigr). Como c=\log_{a} b, obtemos k\log_{a} b=\log_{a}\bigl(b^{k}\bigr).
Aqui: a é a base do logaritmo, b é o argumento (o número dentro do log), k é o multiplicador fora do log.

Passo 3

Aplicando essa propriedade ao problema: com k=3, a=4 e b=4, temos
3\log_{4}4=\log_{4}\bigl(4^{3}\bigr).

Passo 4

Calcule a potência dentro do logaritmo: 4^{3}=64. Opcionalmente, note que \log_{4}4=1, então 3\log_{4}4=3, mas como a pergunta pediu um único logaritmo, a forma desejada é a que obtivemos no Passo 3 com a potência avaliada.

Resposta

\log_{4}64

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