Expresse como um único logaritmo:
Passo 1
O enunciado pede: "Expresse como um único logaritmo:
".
Informações dadas: o coeficiente multiplicando o logaritmo é ; a base do logaritmo é
; o argumento do logaritmo é
.
Informações dadas: o coeficiente multiplicando o logaritmo é
Passo 2
Propiedade que vamos usar (expliquei passo a passo): para qualquer base
,
, qualquer argumento
e qualquer número real
, vale
Por que isso é verdade? Seja
. Por definição de logaritmo, isto significa que
. Elevando ambos os lados à potência
obtemos
. Aplicando logaritmo de base
nos dois lados dá
. O lado esquerdo simplifica para
porque
. Assim
. Como
, obtemos
.
Aqui: é a base do logaritmo,
é o argumento (o número dentro do log),
é o multiplicador fora do log.
Aqui:
Passo 3
Aplicando essa propriedade ao problema: com
,
e
, temos
Passo 4
Calcule a potência dentro do logaritmo:
. Opcionalmente, note que
, então
, mas como a pergunta pediu um único logaritmo, a forma desejada é a que obtivemos no Passo 3 com a potência avaliada.