Refaça o Exemplo 6.1 considerando-se grãos de painço, com amostra de 500 grãos, os quais apresentam o formato de esferoide prolato, em que a média do raio menor é de
, e a média do raio maior, de
. No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa igual a
que, após a adição dos 500 grãos, acusou 31,268 g. Com o objetivo de obter a massa específica do painço, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de
. Ao enchê-lo com água, a
, verificou-se que o recipiente acusou massa de
. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está associado ao da amostra de interesse, adicionaram-se os grãos, encontrando-se a massa de
, a qual corresponde à massa do picnômetro adicionada à de água e à da amostra.
R. a)
; b)
; c)
;
d)
; e)
; f)
;
g)
; h)
; i)
.
que, após a adição dos 500 grãos, acusou 31,268 g. Com o objetivo de obter a massa específica do painço, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de
R. a)
d)
g)
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado diz e o que ele pede (lista de dados e perguntas).
Dados fornecidos (retirei diretamente do enunciado):
O que o enunciado pede (itens a) a i) listados na resposta):
a) encontrar (densidade da água no picnômetro);
b) massa de água deslocada pelos 500 grãos, ;
c) massa específica (densidade) do grão ;
d) diâmetro esférico equivalente por grão a partir da massa e da densidade ( );
e) expressão teórica do diâmetro equivalente volumétrico para um esferoide prolato;
f) calcular esse diâmetro teórico usando os semieixos dados;
g) expressão do diâmetro equivalente de superfície (a partir da área do esferoide);
h) calcular numericamente;
i) calcular a esfericidade .
a) encontrar
b) massa de água deslocada pelos 500 grãos,
c) massa específica (densidade) do grão
d) diâmetro esférico equivalente por grão a partir da massa e da densidade (
e) expressão teórica do diâmetro equivalente volumétrico para um esferoide prolato;
f) calcular esse diâmetro teórico usando os semieixos dados;
g) expressão do diâmetro equivalente de superfície
h) calcular
i) calcular a esfericidade
Agora que identificamos todos os dados e as perguntas, a resolução começa de verdade no próximo passo.
Passo 2
Calcular a massa total de grãos (medida pelo cadinho) e a massa de água contida no picnômetro — passo a passo numérico.
- Massa total dos 500 grãos:
Explicação: subtraímos a massa do cadinho vazio da massa do cadinho com os grãos. Isso dá a massa líquida dos grãos.
- Massa de água contida no picnômetro quando cheio:
Explicação: massa do picnômetro cheio menos massa vazia = massa da água que preenche 50 cm^3.
- Densidade da água usada (item a):
A densidade é massa/volume; o volume do picnômetro é.
Arredondando convenientemente (duas ou três casas):
Passo 3
Determinar a massa de água deslocada pelos grãos (item b) e o volume total ocupado pelos grãos (que será usado para a densidade dos grãos).
Quando os grãos são colocados no picnômetro já cheio, há transbordamento: o aumento de massa do conjunto picnômetro+água+grãos em relação ao picnômetro+água é apenas a massa aparente adicionada (que é massa dos grãos menos a massa de água transbordada). Logo:
- Aumento observado ao adicionar os grãos:
- Massa de água deslocada (isto é, massa de água que saiu do picnômetro):
Arredondando:
- Volume total ocupado pelos 500 grãos (usar densidade da água):
Explicação: a massa de água que saiu corresponde ao volume que os grãos ocupam.
Passo 4
Calcular a massa específica (densidade) dos grãos (item c).
A densidade dos grãos é massa total dos grãos dividida pelo volume que ocupam:
Arredondando:
Ensino rápido da fórmula usada: densidade é sempre
Aqui a massa é a dos 500 grãos e o volume é justamente o volume de água deslocada (medido pela picnometria).
Passo 5
Encontrar o diâmetro equivalente volumétrico por grão a partir da massa medida (item d). Explicarei a lógica e as fórmulas passo a passo.
- Massa média por grão:
- Volume médio por grão (usar
):
- Converter esse volume em um diâmetro de esfera equivalente.
Fórmula do volume de uma esfera em função do diâmetro:
Isolando
:
Aplicando ao nosso
:
Arredondando:
Explicação didática: transformamos o volume de cada grão em um “diâmetro de esfera” para poder comparar tamanhos por uma única medida (diâmetro). Esta é a forma usual de definir o “diâmetro equivalente volumétrico”.
Passo 6
Apresentar a expressão teórica do diâmetro equivalente volumétrico para um esferoide prolato (item e) e explicar de onde vem.
Para um esferoide prolato com semieixo maior
(eixo de revolução) e semieixo menor
(os dois iguais), o volume é:
Queremos o diâmetro
da esfera que tem o mesmo volume:
Cancelando
e isolando
:
Assim obtemos a fórmula pedida:
Observação: aqui
e
devem estar na mesma unidade (ex.: cm) para obter
nessa unidade.
Passo 7
Calcular numericamente o diâmetro teórico
usando os semieixos dados (item f).
Primeiro convertemos
e
de
para
:
Aplicando a fórmula
Cálculo numérico:
Arredondando:
Comentário: esta
é o diâmetro da esfera que teria o mesmo volume que um esferoide com semieixos dados. Note que ela difere um pouco do
obtido experimentalmente por massa/volume (item d), fruto de variações reais nas medidas e definições (medida experimental vs. geometria média).
Passo 8
Apresentar a expressão para o diâmetro equivalente de superfície
(item g) e explicar a origem.
Área de superfície de um esferoide prolato (com semieixos
e
,
) é:
onde
é a excentricidade do esferoide:
Definimos o diâmetro de superfície equivalente
pela relação:
Substituindo
e simplificando:
Portanto a fórmula pedida é:
Passo 9
Calcular numericamente
usando os semieixos fornecidos (item h).
Usaremos os mesmos
e
em
:
- Calcular a excentricidade:
- Calcular o termo
:
- Calcular
:
- Somar e tirar raiz:
Arredondando:
Passo 10
Calcular a esfericidade
(item i) e explicar a definição usada.
Definição usada (comum em engenharia de partículas):
Área da esfera de diâmetro
(volume-equivalente) é
. A área real da partícula é
(pela definição de
). Assim:
Usando
(do Passo 5) e
(do Passo 9):
Arredondando:
Comentário: a esfericidade varia entre 0 e 1; quanto mais próxima de 1, mais a partícula se aproxima de uma esfera perfeita. Nosso valor indica que o grão é razoavelmente pouco esférico (ou seja, tem superfície maior do que a esfera de mesmo volume).
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g) com
h)
i)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)