Refaça o Exemplo 6.1 considerando-se grãos de painço, com amostra de 500 grãos, os quais apresentam o formato de esferoide prolato, em que a média do raio menor é de 1,076 \mathrm{~mm}, e a média do raio maior, de 1,566 \mathrm{~mm}. No sentido de avaliar a massa da amostra, utilizou-se um cadinho de massa igual a 28,550 \mathrm{~g}
que, após a adição dos 500 grãos, acusou 31,268 g. Com o objetivo de obter a massa específica do painço, utilizou-se a técnica de picnometria, lançando-se mão de um picnômetro de 50 ml e massa de 21,072 \mathrm{~g}. Ao enchê-lo com água, a 29^{\circ} \mathrm{C}, verificou-se que o recipiente acusou massa de 72,949 \mathrm{~g}. No sentido de avaliar o volume de água deslocado, que está associado ao da amostra de interesse, adicionaram-se os grãos, encontrando-se a massa de 73,090 \mathrm{~g}, a qual corresponde à massa do picnômetro adicionada à de água e à da amostra.
R. a) \rho_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=1,038 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}; b) m_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=2,58 \mathrm{~g}; c) \rho_{p}=1,094 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3};
d) d_{p}=0,212 \mathrm{~cm}; e) d_{p}=\left(8 a b^{2}\right)^{1 / 3}; f) d_{p}=0,224 \mathrm{~cm};
g) d_{p S}=\left[2 b^{2}+2\left(\frac{a \times b}{e}\right) \operatorname{sen}^{-1}(e)\right]^{1 / 2}; h) d_{p S}=0,247 \mathrm{~cm}; i) \varphi=0,779.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado diz e o que ele pede (lista de dados e perguntas).
Dados fornecidos (retirei diretamente do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Número de grãos} = 500.\\\ &\text{massa do cadinho (vazio)} = 28{,}550\\ \mathrm{g}.\\\ &\text{massa do cadinho + 500 grãos} = 31{,}268\\ \mathrm{g}.\\\ &\text{massa do picnômetro (vazio)} = 21{,}072\\ \mathrm{g}.\\\ &\text{massa do picnômetro cheio com água (a }29^\circ\mathrm{C}) = 72{,}949\\ \mathrm{g}.\\\ &\text{massa do picnômetro com água + 500 grãos} = 73{,}090\\ \mathrm{g}.\\\ &\text{volume do picnômetro} = 50\\ \mathrm{mL} = 50\\ \mathrm{cm}^3\\ (\text{informação implícita pelo enunciado}).\\\ &\text{média do raio menor (semieixo menor) } b = 1{,}076\\ \mathrm{mm}.\\\ &\text{média do raio maior (semieixo maior) } a = 1{,}566\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}úããôôáôáãôçãíéé
O que o enunciado pede (itens a) a i) listados na resposta):
a) encontrar \rho_{\mathrm{H_2O}} (densidade da água no picnômetro);
b) massa de água deslocada pelos 500 grãos, m_{\mathrm{H_2O}};
c) massa específica (densidade) do grão \rho_p;
d) diâmetro esférico equivalente por grão a partir da massa e da densidade ( d_p);
e) expressão teórica do diâmetro equivalente volumétrico para um esferoide prolato;
f) calcular esse diâmetro teórico usando os semieixos dados;
g) expressão do diâmetro equivalente de superfície d_{pS} (a partir da área do esferoide);
h) calcular d_{pS} numericamente;
i) calcular a esfericidade \varphi.
Agora que identificamos todos os dados e as perguntas, a resolução começa de verdade no próximo passo.

Passo 2

Calcular a massa total de grãos (medida pelo cadinho) e a massa de água contida no picnômetro — passo a passo numérico.
  1. Massa total dos 500 grãos:
m_{\text{grãos}} = 31{,}268 - 28{,}550 = 2{,}718\\ \mathrm{g}.ã
Explicação: subtraímos a massa do cadinho vazio da massa do cadinho com os grãos. Isso dá a massa líquida dos grãos.
  1. Massa de água contida no picnômetro quando cheio:
m_{\mathrm{H_2O, \; pic}} = 72{,}949 - 21{,}072 = 51{,}877\\ \mathrm{g}.
Explicação: massa do picnômetro cheio menos massa vazia = massa da água que preenche 50 cm^3.
  1. Densidade da água usada (item a):
    A densidade é massa/volume; o volume do picnômetro é 50\\ \mathrm{cm}^3.
\rho_{\mathrm{H_2O}} = \frac{m_{\mathrm{H_2O,\;pic}}}{50} = \frac{51{,}877}{50} = 1{,}03754\\ \mathrm{g/cm^3}.
Arredondando convenientemente (duas ou três casas): \rho_{\mathrm{H_2O}} = 1{,}038\\ \mathrm{g/cm^3}.

Passo 3

Determinar a massa de água deslocada pelos grãos (item b) e o volume total ocupado pelos grãos (que será usado para a densidade dos grãos).
Quando os grãos são colocados no picnômetro já cheio, há transbordamento: o aumento de massa do conjunto picnômetro+água+grãos em relação ao picnômetro+água é apenas a massa aparente adicionada (que é massa dos grãos menos a massa de água transbordada). Logo:
  1. Aumento observado ao adicionar os grãos:
\Delta m = 73{,}090 - 72{,}949 = 0{,}141\\ \mathrm{g}.
  1. Massa de água deslocada (isto é, massa de água que saiu do picnômetro):
m_{\mathrm{H_2O}} = m_{\text{grãos}} - \Delta m = 2{,}718 - 0{,}141 = 2{,}577\\ \mathrm{g}.ã
Arredondando: m_{\mathrm{H_2O}} = 2{,}58\\ \mathrm{g}.
  1. Volume total ocupado pelos 500 grãos (usar densidade da água):
V_{\text{grãos}} = \frac{m_{\mathrm{H_2O}}}{\rho_{\mathrm{H_2O}}} = \frac{2{,}577}{1{,}03754} \approx 2{,}484\\ \mathrm{cm^3}.ã
Explicação: a massa de água que saiu corresponde ao volume que os grãos ocupam.

Passo 4

Calcular a massa específica (densidade) dos grãos (item c).
A densidade dos grãos é massa total dos grãos dividida pelo volume que ocupam:
\rho_p = \frac{m_{\text{grãos}}}{V_{\text{grãos}}} = \frac{2{,}718}{2{,}484} \approx 1{,}09398\\ \mathrm{g/cm^3}.ãã
Arredondando: \rho_p = 1{,}094\\ \mathrm{g/cm^3}.
Ensino rápido da fórmula usada: densidade é sempre
\text{densidade } \rho = \frac{\text{massa}}{\text{volume}}.
Aqui a massa é a dos 500 grãos e o volume é justamente o volume de água deslocada (medido pela picnometria).

Passo 5

Encontrar o diâmetro equivalente volumétrico por grão a partir da massa medida (item d). Explicarei a lógica e as fórmulas passo a passo.
  1. Massa média por grão:
m_{\text{médio}} = \frac{m_{\text{grãos}}}{500} = \frac{2{,}718}{500} = 0{,}005436\\ \mathrm{g}.éã
  1. Volume médio por grão (usar \rho_p):
V_{\text{médio}} = \frac{m_{\text{médio}}}{\rho_p} = \frac{0{,}005436}{1{,}09398} \approx 0{,}004973\\ \mathrm{cm^3}.éé
  1. Converter esse volume em um diâmetro de esfera equivalente.
    Fórmula do volume de uma esfera em função do diâmetro d:
V_{\text{esfera}} = \frac{\pi}{6} d^3.
Isolando d:
d = \left(\frac{6V}{\pi}\right)^{1/3}.
Aplicando ao nosso V_{\text{médio}}é:
d_p = \left(\frac{6 \cdot 0{,}004973}{\pi}\right)^{1/3} \approx 0{,}21214\\ \mathrm{cm}.
Arredondando: d_p \approx 0{,}212\\ \mathrm{cm}.
Explicação didática: transformamos o volume de cada grão em um “diâmetro de esfera” para poder comparar tamanhos por uma única medida (diâmetro). Esta é a forma usual de definir o “diâmetro equivalente volumétrico”.

Passo 6

Apresentar a expressão teórica do diâmetro equivalente volumétrico para um esferoide prolato (item e) e explicar de onde vem.
Para um esferoide prolato com semieixo maior a (eixo de revolução) e semieixo menor b (os dois iguais), o volume é:
V = \frac{4}{3}\pi a b^2.
Queremos o diâmetro d da esfera que tem o mesmo volume:
\frac{\pi}{6} d^3 = \frac{4}{3}\pi a b^2.
Cancelando \pi e isolando d:
d^3 = 8 a b^{2}, \quad\text{portanto}\quad d = \left(8 a b^{2}\right)^{1/3}.
Assim obtemos a fórmula pedida:
\boxed{d_p = \left(8 a b^{2}\right)^{1/3}}.
Observação: aqui a e b devem estar na mesma unidade (ex.: cm) para obter d nessa unidade.

Passo 7

Calcular numericamente o diâmetro teórico d_p usando os semieixos dados (item f).
Primeiro convertemos a e b de \mathrm{mm} para \mathrm{cm}:
a = 1{,}566\\ \mathrm{mm} = 0{,}1566\\ \mathrm{cm},\qquad b = 1{,}076\\ \mathrm{mm} = 0{,}1076\\ \mathrm{cm}.
Aplicando a fórmula
d_p = \left(8 a b^{2}\right)^{1/3} = \left(8 \cdot 0{,}1566 \cdot (0{,}1076)^2\right)^{1/3}.
Cálculo numérico:
(0{,}1076)^2 = 0{,}0115778,\quad 8ab^2 = 8\cdot 0{,}1566 \cdot 0{,}0115778 \approx 0{,}014503.
d_p = (0{,}014503)^{1/3} \approx 0{,}2439\\ \mathrm{cm}.
Arredondando: d_p \approx 0{,}244\\ \mathrm{cm}.
Comentário: esta d_p é o diâmetro da esfera que teria o mesmo volume que um esferoide com semieixos dados. Note que ela difere um pouco do d_p obtido experimentalmente por massa/volume (item d), fruto de variações reais nas medidas e definições (medida experimental vs. geometria média).

Passo 8

Apresentar a expressão para o diâmetro equivalente de superfície d_{pS} (item g) e explicar a origem.
Área de superfície de um esferoide prolato (com semieixos a e b, a>b) é:
S = 2\pi b^2\left[1 + \frac{a}{b e}\sin^{-1}(e)\right],
onde e é a excentricidade do esferoide:
e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}.
Definimos o diâmetro de superfície equivalente d_{pS} pela relação:
S = \pi d_{pS}^2 \quad\Rightarrow\quad d_{pS} = \sqrt{\frac{S}{\pi}}.
Substituindo S e simplificando:
d_{pS}=\left[2 b^{2} + 2\left(\frac{a b}{e}\right)\sin^{-1}(e)\right]^{1/2}.
Portanto a fórmula pedida é:
\boxed{d_{pS} = \left[2 b^{2} + 2\left(\frac{a b}{e}\right)\sin^{-1}(e)\right]^{1/2}.}

Passo 9

Calcular numericamente d_{pS} usando os semieixos fornecidos (item h).
Usaremos os mesmos a e b em \mathrm{cm}:
a = 0{,}1566\\ \mathrm{cm},\qquad b = 0{,}1076\\ \mathrm{cm}.
  1. Calcular a excentricidade:
e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{0{,}0115778}{0{,}024526}} \approx \sqrt{1 - 0{,}4719} \approx 0{,}7267.
  1. Calcular o termo \left(\frac{a b}{e}\right)\sin^{-1}(e):
\frac{a b}{e} = \frac{0{,}1566\cdot 0{,}1076}{0{,}7267}\approx 0{,}02319.
\sin^{-1}(e) = \sin^{-1}(0{,}7267) \approx 0{,}8203\\ \text{rad}.
2\left(\frac{a b}{e}\right)\sin^{-1}(e) \approx 2 \cdot 0{,}02319 \cdot 0{,}8203 \approx 0{,}03805.
  1. Calcular 2 b^2:
2 b^2 = 2\cdot 0{,}0115778 \approx 0{,}0231556.
  1. Somar e tirar raiz:
d_{pS} = \sqrt{0{,}0231556 + 0{,}03805} = \sqrt{0{,}0612056} \approx 0{,}2474\\ \mathrm{cm}.
Arredondando: d_{pS} \approx 0{,}247\\ \mathrm{cm}.

Passo 10

Calcular a esfericidade \varphi (item i) e explicar a definição usada.
Definição usada (comum em engenharia de partículas):
\varphi = \frac{\text{área da esfera de mesmo volume}}{\text{área da partícula}}.ááí
Área da esfera de diâmetro d_v (volume-equivalente) é \pi d_v^2. A área real da partícula é \pi d_{pS}^2 (pela definição de d_{pS}). Assim:
\varphi = \frac{\pi d_v^2}{\pi d_{pS}^2} = \left(\frac{d_v}{d_{pS}}\right)^2.
Usando d_v = 0{,}21214\\ \mathrm{cm} (do Passo 5) e d_{pS} = 0{,}2474\\ \mathrm{cm} (do Passo 9):
\varphi = \left(\frac{0{,}21214}{0{,}2474}\right)^2 \approx (0{,}8573)^2 \approx 0{,}7350.
Arredondando: \varphi \approx 0{,}735.
Comentário: a esfericidade varia entre 0 e 1; quanto mais próxima de 1, mais a partícula se aproxima de uma esfera perfeita. Nosso valor indica que o grão é razoavelmente pouco esférico (ou seja, tem superfície maior do que a esfera de mesmo volume).

Resposta

a) \rho_{\mathrm{H_2O}} = 1{,}038\\ \mathrm{g/cm^3}
b) m_{\mathrm{H_2O}} = 2{,}58\\ \mathrm{g}
c) \rho_{p} = 1{,}094\\ \mathrm{g/cm^3}
d) d_{p} = 0{,}212\\ \mathrm{cm}
e) d_{p} = \left(8 a b^{2}\right)^{1/3}
f) d_{p} = 0{,}244\\ \mathrm{cm}
g) d_{pS} = \left[2 b^{2} + 2\left(\dfrac{a b}{e}\right)\sin^{-1}(e)\right]^{1/2} com e=\sqrt{1-\dfrac{b^{2}}{a^{2}}}
h) d_{pS} = 0{,}247\\ \mathrm{cm}
i) \varphi = 0{,}735

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