Trinta e dois gramas de uma amostra de café solúvel, de formato esférico e massa específica igual a 1,5 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, apresentaram a análise granulométrica indicada na Tabela 3. Pede-se:
a) a distribuição granulométrica;
b) a distribuição de frequência;
c) o modelo mais apropriado para descrever a distribuição granulométrica;
d) o diâmetro médio de Sauter da amostra;
e) o diâmetro médio de Sauter segundo o modelo de distribuição adequado.
Table 1: Tabela 3 Massa retida relativa ao exercício proposto 16
\captionsetup{labelformat=empty}
Mesh m_{i}(\mathrm{~g})
-37+44 5,2
-44+63 9,3
-63+105 12,4
-105+210 4,0
-210+ fundo 1,1

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de massa total 32\\ \mathrm{g} de café solúvel, forma esférica e massa específica \rho=1,5\\ \mathrm{g/cm^{3}}. A Tabela 3 fornece as massas retidas em cada classe de peneiras (peguei esses dados da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} \text{Classe (mesh)} & m_i\\ (\mathrm{g})\\\\ -37+44 & 5,2\\\\ -44+63 & 9,3\\\\ -63+105 & 12,4\\\\ -105+210 & 4,0\\\\ -210+ \text{fundo} & 1,1 \end{array}
O que é pedido:
a) a distribuição granulométrica (isto é, fração acumulada que passa por cada tamis / cada classe);
b) a distribuição de frequência (fração relativa de massa em cada classe);
c) indicar o modelo mais apropriado para descrever a distribuição granulométrica;
d) calcular o diâmetro médio de Sauter da amostra;
e) calcular o diâmetro médio de Sauter segundo o modelo ajustado.
Observação importante (assunção que preciso fazer para prosseguir com (c)–(e)): o enunciado não dá explicitamente as aberturas (em mm) correspondentes às malhas 37, 44, 63, 105 e 210. Vou usar valores padrão aproximados de aberturas de peneiras (tabela de peneiras comum) e tomar como diâmetros representativos a média geométrica entre os limites da classe. Esses valores padrão que vou usar são (peguei-os como aproximação comum em lista de peneiras):
\begin{array}{ll} 37\\ \text{mesh}\approx 0{,}500\\ \mathrm{mm},&44\\ \text{mesh}\approx 0{,}425\\ \mathrm{mm},\\\\ 63\\ \text{mesh}\approx 0{,}250\\ \mathrm{mm},&105\\ \text{mesh}\approx 0{,}150\\ \mathrm{mm},\\\\ 210\\ \text{mesh}\approx 0{,}075\\ \mathrm{mm}. \end{array}
Para a classe final -210+\text{fundo} vou assumir uma abertura característica menor e tomar como diâmetro representativo 0{,}053\\ \mathrm{mm} (isso é uma escolha comum para representar o material abaixo de 0{,}075\\ \mathrm{mm}). Se você tiver outra tabela de aberturas, os valores numéricos mudarão, mas o método continua o mesmo.

Passo 2

Vou primeiro calcular a distribuição de frequência (fração relativa) e depois a distribuição granulométrica acumulada (fração que passa até cada diâmetro representativo).
  1. Frações relativas f_i (peguei m_i da tabela):
\begin{aligned} f_1&=\frac{5{,}2}{32}=0{,}1625,\\\ f_2&=\frac{9{,}3}{32}=0{,}290625,\\\ f_3&=\frac{12{,}4}{32}=0{,}3875,\\\ f_4&=\frac{4{,}0}{32}=0{,}125,\\\ f_5&=\frac{1{,}1}{32}=0{,}034375. \end{aligned}
Em porcentagem:
\begin{aligned} f_1&=16{,}25\%,\quad f_2=29{,}06\%,\quad f_3=38{,}75\%,\quad f_4=12{,}50\%,\quad f_5=3{,}44\%. \end{aligned}
  1. Diâmetros representativos (média geométrica entre os limites da classe). Usei as aberturas padrão indicadas no Passo 1:
\begin{aligned} d_1&=\sqrt{0{,}500\cdot 0{,}425}=0{,}461\\ \mathrm{mm},\\\ d_2&=\sqrt{0{,}425\cdot 0{,}250}=0{,}326\\ \mathrm{mm},\\\ d_3&=\sqrt{0{,}250\cdot 0{,}150}=0{,}194\\ \mathrm{mm},\\\ d_4&=\sqrt{0{,}150\cdot 0{,}075}=0{,}106\\ \mathrm{mm},\\\ d_5&\text{(classe fina)}=0{,}053\\ \mathrm{mm}. \end{aligned}
  1. Distribuição granulométrica acumulada R(d) = fração que passa por diâmetro d. Vou tomar R(d_i) como a soma das frações das classes com diâmetro menor ou igual a d_i (ou seja, acumulado das classes mais finas até aquela):
\begin{aligned} R(d_5)&=f_5=0{,}034375,\\\ R(d_4)&=f_4+f_5=0{,}159375,\\\ R(d_3)&=f_3+f_4+f_5=0{,}546875,\\\ R(d_2)&=f_2+f_3+f_4+f_5=0{,}8375,\\\ R(d_1)&=f_1+f_2+f_3+f_4+f_5=1{,}0000. \end{aligned}
Esses R(d_i) são a distribuição granulométrica (cumulativa por diâmetro representativo). Se preferir em porcentagem, multiplique por 100.

Passo 3

Explicar a distribuição de frequência (já calculei acima, aqui apresento de forma tabulada para ficar claro — estou repetindo os números de forma organizada):
\begin{array}{llll} \text{Classe} & d_i\\ (\mathrm{mm}) & m_i\\ (\mathrm{g}) & \text{Fração }f_i\\[4pt] -37+44 & 0{,}461 & 5{,}2 & 0{,}1625\\ (16{,}25\%)\\[4pt] -44+63 & 0{,}326 & 9{,}3 & 0{,}290625\\ (29{,}06\%)\\[4pt] -63+105 & 0{,}194 & 12{,}4 & 0{,}3875\\ (38{,}75\%)\\[4pt] -105+210 & 0{,}106 & 4{,}0 & 0{,}125\\ (12{,}50\%)\\[4pt] -210+fundo & 0{,}053 & 1{,}1 & 0{,}034375\\ (3{,}44\%) \end{array}çã
Comentário didático curto: a distribuição de frequência diz quanto da massa está em cada classe; a distribuição granulométrica (acumulada R(d)) diz qual fração passa por um determinado diâmetro. Essas duas apresentações são as respostas de (a) e (b) pedidas.]

Passo 4

Escolha do modelo mais apropriado para descrever a distribuição granulométrica.
Explicando de forma simples: para granulometrias de pós e materiais moídos, os modelos clássicos são a distribuição log‑normal e a distribuição de Rosin–Rammler (que é uma forma de distribuição de Weibull aplicada a granulometria). A Rosin–Rammler é frequentemente usada quando a curva acumulada tem a forma de “S” assimétrica e é muito usada em materiais pulverizados e partículas esféricas; ela fornece uma forma simples com dois parâmetros que controlam largura e escala. Pela forma dos pontos R(d) que obtivemos (crescimento rápido do acumulado em torno de d\approx 0{,}19\\ \mathrm{mm} e cauda para as frações finas), a distribuição de Rosin–Rammler (Weibull) é uma escolha adequada e prática (explico abaixo como ajustá‑la). Portanto, escolho o modelo de Rosin–Rammler (Weibull) com função acumulada:
R(d)=1-\exp\!\biggl[-\Bigl(\frac{d}{\lambda}\Bigr)^{n}\biggr],
onde n é o parâmetro de forma (indica dispersão) e \lambda é o parâmetro de escala (medida característica de tamanho).
Justificativa: é um modelo simples de dois parâmetros, fácil de linearizar e ajustar com os pontos experimentais, e costuma descrever bem partículas de moagem/fragmentação.

Passo 5

Ajuste do modelo Rosin–Rammler (passo a passo didático, mostrando linearização e regressão simples).
  1. Tomamos a linearização padrão. Se R(d)=1-\exp[-(d/\lambda)^n] então
-\ln(1-R)=(d/\lambda)^n.
Tomando ln dos dois lados:
\ln\bigl[-\ln(1-R)\bigr]=n\ln d - n\ln\lambda.
Isso é uma reta Y=nX+b com Y=\ln[-\ln(1-R)], X=\ln d e intercepto b=-n\ln\lambda. Então podemos ajustar uma reta Y contra X pelos pontos experimentais.
  1. Usei os pontos experimentais (d_i,R(d_i)) calculados no Passo 2, excetuando o ponto com R=1 (porque daria \ln 0 indefinido). Os pontos usados foram:
\begin{array}{ll} (d,R)=(0{,}053,\\\ 0{,}034375),\\\ (d,R)=(0{,}106,\\\ 0{,}159375),\\\ (d,R)=(0{,}194,\\\ 0{,}546875),\\\ (d,R)=(0{,}326,\\\ 0{,}8375). \end{array}
  1. Calculei X_i=\ln d_i e Y_i=\ln[-\ln(1-R_i)] para cada ponto (mostro os valores aproximados):
\begin{array}{lll} d_5=0{,}053\\ \mathrm{mm},& X_1=\ln(0{,}053)\approx -2{,}937,& Y_1\approx -3{,}355,\\[4pt] d_4=0{,}106\\ \mathrm{mm},& X_2=\ln(0{,}106)\approx -2{,}244,& Y_2\approx -1{,}750,\\[4pt] d_3=0{,}194\\ \mathrm{mm},& X_3=\ln(0{,}194)\approx -1{,}642,& Y_3\approx -0{,}233,\\[4pt] d_2=0{,}326\\ \mathrm{mm},& X_4=\ln(0{,}326)\approx -1{,}120,& Y_4\approx 0{,}597. \end{array}
  1. Fiz uma regressão linear simples por mínimos quadrados para Y = nX + b (mostro a ideia: calculei médias \bar X, \bar Y, covariância e variância e obtive a inclinação)
n \approx 2{,}22,\qquad b\approx 3{,}218.
  1. A partir de b=-n\ln\lambda temos
\ln\lambda = -\frac{b}{n}\quad\Rightarrow\quad \lambda\approx \exp\!\biggl(-\frac{3{,}218}{2{,}22}\biggr)\approx 0{,}234\\ \mathrm{mm}.
Portanto os parâmetros ajustados (aproximados) do modelo Rosin–Rammler são:
n\approx 2{,}22,\qquad \lambda\approx 0{,}234\\ \mathrm{mm}.
Observação didática: esse procedimento é padrão — transformamos a equação em uma forma linear, ajustamos por regressão linear e recuperamos os parâmetros. Se você tiver uma calculadora com regressão linear, basta inserir X=\ln d e Y=\ln[-\ln(1-R)] e obter n (inclinação) e b (intercepto).]

Passo 6

Cálculo do diâmetro médio de Sauter a partir dos dados experimentais (sem modelo).
Explicação da fórmula (muito importante entender): para partículas esféricas e massa constante, o diâmetro de Sauter d_{32} é definido como
d_{32}=\frac{\sum N_i d_i^{3}}{\sum N_i d_i^{2}},
onde N_i é o número de partículas na classe i e d_i é o diâmetro médio da classe. Mas nós temos massas m_i, não números. Para esferas de densidade \rho constante, a massa de uma partícula de diâmetro d é proporcional a d^3 (volume). Assim, se m_i é a massa total na classe i, então
N_i = \frac{m_i}{\text{massa de uma esfera de diâmetro }d_i} \propto \frac{m_i}{d_i^3}.â
Substituindo em d_{32}:
d_{32}=\frac{\sum \left(\dfrac{m_i}{d_i^3}\right)d_i^3}{\sum \left(\dfrac{m_i}{d_i^3}\right)d_i^2} =\frac{\sum m_i}{\sum \dfrac{m_i}{d_i}}.
Portanto, para esferas de mesma densidade a fórmula simples e prática com os dados de massa é
\boxed{d_{32}=\dfrac{\sum m_i}{\sum \dfrac{m_i}{d_i}}.}
Agora aplico essa fórmula com os m_i e d_i usados antes.
Calculei \sum m_i=32\\ \mathrm{g} (confirme: soma das massas da tabela). O denominador:
\sum \frac{m_i}{d_i}=\frac{5{,}2}{0{,}461}+\frac{9{,}3}{0{,}326}+\frac{12{,}4}{0{,}194}+\frac{4{,}0}{0{,}106}+\frac{1{,}1}{0{,}053}.
Faço as divisões (valores aproximados):
\begin{aligned} \frac{5{,}2}{0{,}461}&\approx 11{,}282,\\\ \frac{9{,}3}{0{,}326}&\approx 28{,}529,\\\ \frac{12{,}4}{0{,}194}&\approx 64{,}054,\\\ \frac{4{,}0}{0{,}106}&\approx 37{,}736,\\\ \frac{1{,}1}{0{,}053}&\approx 20{,}755. \end{aligned}
Somando:
\sum \frac{m_i}{d_i}\approx 162{,}356.
Logo
d_{32}=\frac{32}{162{,}356}\\ \mathrm{mm}\approx 0{,}197\\ \mathrm{mm}.
Interpretação: o diâmetro de Sauter experimental da amostra, calculado diretamente dos dados de massa e assumindo esfericidade e as aberturas representativas escolhidas, é aproximadamente 0{,}197\\ \mathrm{mm}.

Passo 7

Cálculo do diâmetro médio de Sauter segundo o modelo de Rosin–Rammler ajustado.
Teoria curta: para o modelo Rosin–Rammler com pdf (distribuição de número)
f(d)=\frac{d}{dd}R(d)=\frac{n}{\lambda}\Bigl(\frac{d}{\lambda}\Bigr)^{n-1}\exp\!\biggl[-\Bigl(\frac{d}{\lambda}\Bigr)^n\biggr],
os momentos \int d^{k} f(d)\,dd são dados por \lambda^{k}\,\Gamma\!\bigl(1+\tfrac{k}{n}\bigr). Daí, para o Sauter (razão do 3º pelo 2º momento),
\boxed{d_{32}^{\text{modelo}}=\lambda\\ \frac{\Gamma\!\bigl(1+\tfrac{3}{n}\bigr)}{\Gamma\!\bigl(1+\tfrac{2}{n}\bigr)}.}
Usando os parâmetros ajustados n\approx 2{,}22 e \lambda\approx 0{,}234\\ \mathrm{mm}, computa‑se:
1+\frac{3}{n}\approx 1+\frac{3}{2{,}22}\approx 2{,}351,\qquad 1+\frac{2}{n}\approx 1+\frac{2}{2{,}22}\approx 1{,}901.
Avaliação numérica aproximada dos gammadados (usei aproximações numéricas da função Gamma):
\Gamma(2{,}351)\approx 1{,}241\quad\text{e}\quad \Gamma(1{,}901)\approx 0{,}960
(esses valores são aproximações numéricas para permitir o cálculo manual). Portanto
\frac{\Gamma\bigl(1+\tfrac{3}{n}\bigr)}{\Gamma\bigl(1+\tfrac{2}{n}\bigr)}\approx \frac{1{,}241}{0{,}960}\approx 1{,}293,
e
d_{32}^{\text{modelo}}\approx 0{,}234\times 1{,}293\\ \mathrm{mm}\approx 0{,}303\\ \mathrm{mm}.
Comentário: o valor do d_{32} previsto pelo modelo Rosin–Rammler (aprox. 0{,}303\\ \mathrm{mm}) é maior do que o d_{32} calculado diretamente dos dados ( \approx 0{,}197\\ \mathrm{mm}). Isso pode ocorrer por várias razões: escolhas das aberturas representativas, erro de ajuste do modelo (poucos pontos, curta amostragem), ou o fato de o modelo não representar perfeitamente a cauda fina observada. Se desejar, com uma tabela de aberturas exatas ou mais pontos de medida poderíamos refinar muito esses números.

Resposta

(a) Distribuição granulométrica acumulada (fração que passa) nos diâmetros representativos:
R(0{,}053\\ \mathrm{mm})=0{,}034375,
R(0{,}106\\ \mathrm{mm})=0{,}159375,
R(0{,}194\\ \mathrm{mm})=0{,}546875,
R(0{,}326\\ \mathrm{mm})=0{,}8375,
R(0{,}461\\ \mathrm{mm})=1{,}0000.
(b) Distribuição de frequência (fração de massa em cada classe):
f_1=0{,}1625\\ (16{,}25\%),
f_2=0{,}290625\\ (29{,}06\%),
f_3=0{,}3875\\ (38{,}75\%),
f_4=0{,}125\\ (12{,}50\%),
f_5=0{,}034375\\ (3{,}44\%).
(c) Modelo mais apropriado escolhido: distribuição de Rosin–Rammler (Weibull) com parâmetros aproximados
n\approx 2{,}22 e \lambda\approx 0{,}234\\ \mathrm{mm}.
(d) Diâmetro médio de Sauter da amostra (direto pelos dados de massa, assumindo esfericidade e usando os diâmetros representativos acima):
d_{32}\approx 0{,}197\\ \mathrm{mm}.
(e) Diâmetro médio de Sauter segundo o modelo ajustado (Rosin–Rammler):
d_{32}^{\text{modelo}}\approx 0{,}303\\ \mathrm{mm}.

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