O referencial
se move com velocidade
em relação ao referencial
. Uma partícula é disparada de
com velocidade
(em relação a
) na mesma direção do movimento de
. Qual é a velocidade
da partícula medida pelo observador no referencial
?.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
Dados:
Ambos os vetores velocidade estão na mesma direção (a direção do movimento de
relativo a
).
Pergunta:
Qual é a velocidade da partícula medida no referencial
?
Qual é a velocidade
Passo 2
Aqui precisamos de uma relação que transforma uma velocidade medida em
para a velocidade medida em
. Vou mostrar de onde vem essa fórmula (passo a passo, sem pular etapas).
Começamos pelas transformações de Lorentz para pequenas variações de espaço e tempo entre os dois referenciais (essas transformações são usadas para obter velocidades relativas):
onde
. Aqui:
-
e são os incrementos de posição e tempo medidos em , -
e são os incrementos medidos em , -
é a velocidade de em relação a , -
é a velocidade da luz.
A velocidade da partícula medida em
é a razão
. Substituindo as expressões de
e
e cancelando
(pois aparece em numerador e denominador), obtemos:
Dividindo numerador e denominador por
(assumindo
), e lembrando que
, chegamos à fórmula de adição relativística de velocidades:
Explicando de forma simples o que cada símbolo significa:
-
é a velocidade da partícula medida em (dada), -
é a velocidade de em relação a (dada), -
é a velocidade que queremos encontrar em , - o denominador corrige a soma simples das velocidades para respeitar o limite
.
Dica prática: na prova, memorize essa fórmula e faça a conta com frações simples quando os números forem frações de
.
Passo 3
Agora aplicamos a fórmula com os valores dados. Substituindo
e
na fórmula:
Calcule o numerador:
Calcule o termo do denominador:
Logo o denominador é
Portanto
Passo 4
Agora simplificamos a divisão sem calculadora. Sabemos que
(porque
). Então:
Interpretação física curta e motivadora: se você tivesse somado as velocidades classicamente obteria
(o que daria exatamente
), mas a física relativística “diminui” essa soma através do denominador para impedir que a velocidade resultante ultrapasse
. Aqui o resultado é
, bem abaixo de
.
Passo 5
Dica de prova rápida: quando
e
são frações simples de
, calcule primeiro o numerador em termos de
, depois o produto
(que fica sem
) e some no denominador. Isso evita manipulações complicadas.