O referencial S^{\prime} se move com velocidade v=0.5 c em relação ao referencial S. Uma partícula é disparada de S^{\prime} com velocidade u_{x}^{\prime}=0.5 c (em relação a S^{\prime} ) na mesma direção do movimento de S^{\prime}. Qual é a velocidade u_{x} da partícula medida pelo observador no referencial S ?.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa só.
Dados:
v = 0,5c
u_x' = 0,5c
Ambos os vetores velocidade estão na mesma direção (a direção do movimento de S' relativo a S).
Pergunta:
Qual é a velocidade u_x da partícula medida no referencial S ?

Passo 2

Aqui precisamos de uma relação que transforma uma velocidade medida em S' para a velocidade medida em S. Vou mostrar de onde vem essa fórmula (passo a passo, sem pular etapas).
Começamos pelas transformações de Lorentz para pequenas variações de espaço e tempo entre os dois referenciais (essas transformações são usadas para obter velocidades relativas):
dx = \gamma\,(dx' + v\,dt')
dt = \gamma\,(dt' + \tfrac{v}{c^2}\,dx')
onde \gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}. Aqui:
  • dx e dt são os incrementos de posição e tempo medidos em S,
  • dx' e dt' são os incrementos medidos em S',
  • v é a velocidade de S' em relação a S,
  • c é a velocidade da luz.
A velocidade da partícula medida em S é a razão u_x = \dfrac{dx}{dt}. Substituindo as expressões de dx e dt e cancelando \gamma (pois aparece em numerador e denominador), obtemos:
u_x = \frac{dx}{dt} = \frac{dx' + v\,dt'}{dt' + \tfrac{v}{c^2}\,dx'}.
Dividindo numerador e denominador por dt' (assumindo dt'\neq0), e lembrando que u_x' = \dfrac{dx'}{dt'}, chegamos à fórmula de adição relativística de velocidades:
u_x = \frac{u_x' + v}{1 + \dfrac{u_x' v}{c^2}}.
Explicando de forma simples o que cada símbolo significa:
  • u_x' é a velocidade da partícula medida em S' (dada),
  • v é a velocidade de S' em relação a S (dada),
  • u_x é a velocidade que queremos encontrar em S,
  • o denominador corrige a soma simples das velocidades para respeitar o limite c.
Dica prática: na prova, memorize essa fórmula e faça a conta com frações simples quando os números forem frações de c.

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula com os valores dados. Substituindo u_x' = 0,5c e v = 0,5c na fórmula:
u_x = \frac{0,5c + 0,5c}{1 + \dfrac{0,5c\cdot 0,5c}{c^2}}.
Calcule o numerador:
0,5c + 0,5c = 1,0c.
Calcule o termo do denominador:
\dfrac{0,5c\cdot 0,5c}{c^2} = 0,5\cdot 0,5 = 0,25.
Logo o denominador é
1 + 0,25 = 1,25.
Portanto
u_x = \frac{1,0c}{1,25}.

Passo 4

Agora simplificamos a divisão sem calculadora. Sabemos que \dfrac{1,0}{1,25} = 0,8 (porque 1,25 \times 0,8 = 1,0). Então:
u_x = 0,8c.
Interpretação física curta e motivadora: se você tivesse somado as velocidades classicamente obteria u_x = 1,0c (o que daria exatamente c), mas a física relativística “diminui” essa soma através do denominador para impedir que a velocidade resultante ultrapasse c. Aqui o resultado é 0,8c, bem abaixo de c.

Passo 5

Dica de prova rápida: quando u' e v são frações simples de c, calcule primeiro o numerador em termos de c, depois o produto u'v/c^2 (que fica sem c) e some no denominador. Isso evita manipulações complicadas.

Resposta

u_x = 0,8c

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