Um evento ocorre no referencial S (laboratório) nas coordenadas x=1500 \mathrm{~m} e t=10 \mu \mathrm{~s}. Qual é a coordenada temporal t^{\prime} desse mesmo evento, medida por um observador no referencial S^{\prime}, que se move com velocidade v=0.8 c na direção positiva de x em relação a S ? (Use c=3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O que o problema pede: determinar a coordenada temporal t' do mesmo evento medida no referencial S', que se move com velocidade v=0{,}8\,c em relação a S.\n
Dados fornecidos:
  • A posição do evento no referencial S é x=1500\\ \mathrm{m}.
  • O instante do evento no referencial S é t=10\\ \mu\mathrm{s}.
  • A velocidade relativa entre referenciais é v=0{,}8\,c na direção positiva de x.
  • Constante da velocidade da luz: c=3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (transformação de Lorentz para o tempo):\n
t'=\gamma\!\left(t-\frac{v\,x}{c^{2}}\right).\n
Explicando a fórmula e as variáveis:
  • t' é o tempo do evento medido em S' (o que queremos).
  • t é o tempo do evento medido em S (dado).
  • x é a coordenada espacial do evento em S (dado).
  • v é a velocidade relativa entre S e S' (dado).
  • c é a velocidade da luz (dado).
  • \gamma é o fator de Lorentz, que corrige dilatação/contração relativística, definido por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}}.
Razoável? Dá um friozinho, mas vamos passo a passo — nada de pânico.

Passo 3

Calcular \gamma. Primeiro definimos \beta=\dfrac{v}{c}. Como v=0{,}8\,c, temos
\beta=0{,}8.
Agora
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-(0{,}8)^{2}}}=\frac{1}{\sqrt{1-0{,}64}}=\frac{1}{\sqrt{0{,}36}}=\frac{1}{0{,}6}=\frac{5}{3}\approx 1{,}666\ldots

Passo 4

Colocar tudo em unidades S.I. e calcular o termo \dfrac{v x}{c^{2}}.\n
Converter t para segundos:
t=10\\ \mu\mathrm{s}=10\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}=10^{-5}\\ \mathrm{s}.
Calcular \dfrac{x}{c} porque \dfrac{v x}{c^{2}}=\beta\,\dfrac{x}{c}:
\frac{x}{c}=\frac{1500\\ \mathrm{m}}{3\times 10^{8}\\ \mathrm{m/s}}=\frac{1500}{3\times 10^{8}}\\ \mathrm{s}=5\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular \dfrac{v x}{c^{2}} usando \beta:
\frac{v x}{c^{2}}=\beta\frac{x}{c}=0{,}8\times 5\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}=4\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Agora calcular a diferença dentro do parêntese da transformação:
t-\frac{v x}{c^{2}}=10^{-5}\\ \mathrm{s}-4\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}=6\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.

Passo 6

Multiplicar pelo fator \gamma para obter t':
t'=\gamma\left(t-\frac{v x}{c^{2}}\right)=\frac{5}{3}\times 6\times 10^{-6}\\ \mathrm{s}.
Fazendo a conta:
\frac{5}{3}\times 6\times 10^{-6}=\;5\times 2\times 10^{-6}=10\times 10^{-6}=10^{-5}\\ \mathrm{s}.
Converter de volta para microssegundos:
10^{-5}\\ \mathrm{s}=10\\ \mu\mathrm{s}.
Curiosidade rápida: aqui t'=t — apareceu igualdade numérica por causa dos valores escolhidos (é coincidência numérica, não regra geral).

Resposta

\;t'=10\\ \mu\mathrm{s}

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