Um elétron ( m \approx 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} ) é acelerado do repouso até atingir uma velocidade v=0.6 c. Calcule a energia cinética relativística \left(E_{k}\right) deste elétron. (Use c \approx 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s} ).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a energia cinética relativística de um elétron que parte do repouso e atinge velocidade v=0,6c. Informações dadas:
m = 9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg}
v = 0{,}6\,c
c \approx 3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}
A tarefa é encontrar E_{k} (energia cinética relativística) desse elétron. Não vou resolver nada ainda, só listei os dados e o que é pedido.

Passo 2

Conceito básico que vamos usar: na relatividade, a energia total de uma partícula de massa de repouso m e velocidade v é
E = \gamma m c^{2},
onde \gamma é o fator de Lorentz. A energia de repouso (quando v=0) é
E_{0} = m c^{2}.
A energia cinética relativística é a diferença entre a energia total e a energia de repouso:
E_{k} = E - E_{0} = (\gamma - 1)\, m c^{2}.
Aqui:
  • \gamma é o fator de Lorentz (explico como calcular no próximo passo),
  • m é a massa de repouso da partícula,
  • c é a velocidade da luz,
  • E_{k} é o que queremos calcular.

Passo 3

Definição e cálculo do fator de Lorentz \gamma. A fórmula é
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^{2}}}.
Chamando \beta=\dfrac{v}{c}, temos \beta = 0{,}6. Então
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (0{,}6)^{2}}}.
Calculemos passo a passo:
(0{,}6)^{2} = 0{,}36,
1 - 0{,}36 = 0{,}64,
\sqrt{0{,}64} = 0{,}8,
\gamma = \frac{1}{0{,}8} = 1{,}25.
Portanto \gamma = 1{,}25.

Passo 4

Agora vamos calcular m c^{2} (a energia de repouso) com os números dados. Primeiro calcule c^{2}:
c^{2} = (3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s})^{2} = 9\times10^{16}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
Multiplicando por m:
m c^{2} = (9{,}11\times10^{-31}\\ \mathrm{kg})\times(9\times10^{16}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}).
Faço a multiplicação em notação científica:
9{,}11\times9 = 81{,}99
e os expoentes somam -31 + 16 = -15, então
m c^{2} = 81{,}99\times10^{-15}\\ \mathrm{J}.
Ajustando para a forma padrão:
m c^{2} = 8{,}199\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
(Essa é a energia de repouso do elétron com os valores aproximados usados.)

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula de energia cinética relativística:
E_{k} = (\gamma - 1)\, m c^{2}.
Substituindo \gamma = 1{,}25 e m c^{2} = 8{,}199\times10^{-14}\\ \mathrm{J}:
\gamma - 1 = 1{,}25 - 1 = 0{,}25,
E_{k} = 0{,}25 \times 8{,}199\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Multiplicando:
E_{k} = 2{,}04975\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos:
E_{k} \approx 2{,}05\times10^{-14}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

É comum expressar energias de elétrons em electronvolts. Para converter usamos 1\\ \mathrm{eV} = 1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J}. Então
E_{k}(\mathrm{eV}) = \frac{E_{k}(\mathrm{J})}{1{,}602\times10^{-19}\\ \mathrm{J/eV}}.
Substituindo E_{k} = 2{,}04975\times10^{-14}\\ \mathrm{J}:
E_{k}(\mathrm{eV}) = \frac{2{,}04975\times10^{-14}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx 1{,}2797\times10^{5}\\ \mathrm{eV}.
Arredondando:
E_{k} \approx 1{,}28\times10^{5}\\ \mathrm{eV} = 128\\ \mathrm{keV}.

Passo 7

Recapitulando: usando \gamma = 1{,}25 e a relação E_{k}=(\gamma-1)mc^{2} chegamos a uma energia cinética de aproximadamente 2{,}05\times10^{-14}\\ \mathrm{J}, que corresponde a cerca de 1{,}28\times10^{5}\\ \mathrm{eV} (ou 128\\ \mathrm{keV}). Boa! Esse é o valor que você poderia justificar rapidamente na prova, mostrando o cálculo do \gamma e a aplicação da fórmula.

Resposta

E_{k} \approx 2{,}05\times10^{-14}\\ \mathrm{J}
E_{k} \approx 1{,}28\times10^{5}\\ \mathrm{eV}\\ (\approx 128\\ \mathrm{keV})

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