Uma espaçonave tem um comprimento próprio (medido em seu referencial de repouso) de L_{0}= 150 m . Ela passa em alta velocidade por um observador estacionário na Terra, que mede seu comprimento como sendo L=120 \mathrm{~m}. Qual é a velocidade v da espaçonave em relação à Terra?.

Passo 1

O enunciado dá que o comprimento próprio da espaçonave (medido no referencial em que ela está em repouso) é L_{0}=150\\ \mathrm{m} e que um observador na Terra mede o comprimento contraído L=120\\ \mathrm{m}. A pergunta é: qual é a velocidade v da espaçonave em relação à Terra?

Passo 2

Vou apresentar a fórmula que relaciona esses comprimentos e explicar cada símbolo. Na Relatividade Restrita, o comprimento medido por um observador para um objeto em movimento é menor que o comprimento próprio. A relação é
L = L_{0}\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}},
onde:
  • L_{0} é o comprimento próprio (comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso);
  • L é o comprimento medido por um observador que vê o objeto em movimento;
  • v é a velocidade relativa entre o objeto e o observador (o que queremos achar);
  • c é a velocidade da luz no vácuo ( c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}).
    Explicação simples: o fator \sqrt{1-v^{2}/c^{2}} diminui à medida que v se aproxima de c, causando a “contração” do comprimento medido.

Passo 3

Agora isolamos v na fórmula. Começamos dividindo ambos os lados por L_{0} e depois quadrando:
\left(\frac{L}{L_{0}}\right)^{2}=1-\frac{v^{2}}{c^{2}}.
Daí
\frac{v^{2}}{c^{2}}=1-\left(\frac{L}{L_{0}}\right)^{2}
e finalmente
v=c\sqrt{\,1-\left(\frac{L}{L_{0}}\right)^{2}\,}.

Passo 4

Substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule a razão \dfrac{L}{L_{0}}:
\frac{L}{L_{0}}=\frac{120}{150}=0{,}8.
Agora o quadrado:
\left(\frac{L}{L_{0}}\right)^{2}=0{,}8^{2}=0{,}64.
Então
1-\left(\frac{L}{L_{0}}\right)^{2}=1-0{,}64=0{,}36.

Passo 5

Tirando a raiz e multiplicando por c:
v=c\sqrt{0{,}36}=c\cdot 0{,}6=0{,}6\,c.
Isto significa que a espaçonave viaja a 60\% da velocidade da luz.

Passo 6

Convertendo para metros por segundo usando c\approx 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
v=0{,}6\times 3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}=1{,}80\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Como verificação rápida, o fator de Lorentz é \gamma=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}=1/0{,}8=1{,}25 e L=L_{0}/\gamma=150/1{,}25=120\\ \mathrm{m}, consistente com o enunciado.

Resposta

v=0{,}6\,c
v=1{,}80\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}

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