Uma espaçonave tem um comprimento próprio (medido em seu referencial de repouso) de
150 m . Ela passa em alta velocidade por um observador estacionário na Terra, que mede seu comprimento como sendo
. Qual é a velocidade
da espaçonave em relação à Terra?.
Passo 1
O enunciado dá que o comprimento próprio da espaçonave (medido no referencial em que ela está em repouso) é
e que um observador na Terra mede o comprimento contraído
. A pergunta é: qual é a velocidade
da espaçonave em relação à Terra?
Passo 2
Vou apresentar a fórmula que relaciona esses comprimentos e explicar cada símbolo. Na Relatividade Restrita, o comprimento medido por um observador para um objeto em movimento é menor que o comprimento próprio. A relação é
onde:
-
é o comprimento próprio (comprimento medido no referencial em que o objeto está em repouso); -
é o comprimento medido por um observador que vê o objeto em movimento; -
é a velocidade relativa entre o objeto e o observador (o que queremos achar); -
é a velocidade da luz no vácuo ( ).
Explicação simples: o fatordiminui à medida que se aproxima de , causando a “contração” do comprimento medido.
Passo 3
Agora isolamos
na fórmula. Começamos dividindo ambos os lados por
e depois quadrando:
Daí
e finalmente
Passo 4
Substituímos os valores numéricos. Primeiro calcule a razão
:
Agora o quadrado:
Então
Passo 5
Tirando a raiz e multiplicando por
:
Isto significa que a espaçonave viaja a
da velocidade da luz.
Passo 6
Convertendo para metros por segundo usando
:
Como verificação rápida, o fator de Lorentz é
e
, consistente com o enunciado.