Encontre \lim _{(x, y) \rightarrow(-12,2)} \frac{x y^{3}}{x+y} usando as propriedades de limite.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(-12,2)} \frac{x\,y^{3}}{x+y}.
Este é um limite de função de duas variáveis. Como x, y e y^{3} são funções contínuas em \mathbb{R}^{2} e a soma x+y também, podemos usar propriedades de limite desde que o denominador não se anule no ponto alvo.

Passo 2

Verificamos o denominador em (-12,2):
x+y = -12 + 2 = -10 \neq 0.
Como não dá zero, não há indeterminação e podemos separar o limite da razão em razão dos limites.

Passo 3

Pelas propriedades de limite,
\lim_{(x,y)\to(-12,2)} \frac{x\,y^{3}}{x+y} = \frac{ \lim_{(x,y)\to(-12,2)}\bigl(x\,y^{3}\bigr) }{ \lim_{(x,y)\to(-12,2)}(x+y) }.

Passo 4

Calculamos o limite do numerador:
\lim_{(x,y)\to(-12,2)}\bigl(x\,y^{3}\bigr) = \bigl(\lim_{(x,y)\to(-12,2)}x\bigr)\, \bigl(\lim_{(x,y)\to(-12,2)}y^{3}\bigr) = (-12)\cdot 2^{3} = -96.

Passo 5

Calculamos o limite do denominador:
\lim_{(x,y)\to(-12,2)}(x+y) = -12 + 2 = -10.

Passo 6

Dividindo os resultados:
\frac{-96}{-10} = \frac{96}{10} = \frac{48}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{48}{5}

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