Você é o produtor de PCl3, o qual é vendido em barris a uma taxa de P barris por dia. O custo de produção de um barril é dado por:
C=50+0.1 P+9000 / P em dólares por barril
O preço de venda do barril é de . Determine:
b) A taxa de produção diária que maximiza o lucro diário.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão pede. A gente é produtor de C(P)=50 + 0.1,P + 9000P , vende barris por dia a cada. O custo de produção por barril é
Queremos achar a taxa (barris/dia) que maximiza o lucro diário.
Conteúdo: otimização de funções usando derivadas.
O que precisamos:
  1. Montar a função lucro .
  2. Calcular a derivada , igualar a zero e achar .
  3. Verificar que é máximo.

Passo 2

Primeiro, montamos a receita e o custo total:
  • Receita total diária: Custo total = Pgl(50 + 0.1P + 9000Pgr) = 50P + 0.1P^2 + 9000 .
  • Custo total diário: cada barril custa pi(P) = 300P - l(50P + 0.1P^2 + 9000r) = 300P - 50P - 0.1P^2 - 9000 = 250P - 0.1P^2 - 9000 , logo o custo total é :
Aí definimos a função lucro = receita – custo total:

Passo 3

Agora, pra encontrar o máximo, usamos a teoria de derivadas: ponto crítico é onde pi'(P) = ddPl(250P - 0.1P^2 - 9000r) = 250 - 0.2P .
Calculemos 250 - 0.2P = 0 Longrightarrow 0.2P = 250 Longrightarrow P = 2500.2 = 1250 :
A seguir, igualamos a zero e resolvemos pra :

Passo 4

Pra garantir que isso é máximo e não mínimo, olhamos a segunda derivada:
pi''(P) = ddP(250 - 0.2P) = -0.2
Como , o ponto crítico é um máximo.

Resposta

A produção que maximiza o lucro diário é de 1250 barris por dia.

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