Você é o produtor de
, o qual é vendido em barris a uma taxa de P barris por dia. O custo de produção de um barril é dado por:
dólares por barril
O preço de venda do barril é de
. Determine:
b) A taxa de produção diária que maximiza o lucro diário.
O preço de venda do barril é de
b) A taxa de produção diária que maximiza o lucro diário.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão pede. A gente é produtor de
, vende
barris por dia a
cada. O custo de produção por barril é
Queremos achar a taxa
(barris/dia) que maximiza o lucro diário.
Conteúdo: otimização de funções usando derivadas.
O que precisamos:
Conteúdo: otimização de funções usando derivadas.
O que precisamos:
- Montar a função lucro
. - Calcular a derivada
, igualar a zero e achar . - Verificar que é máximo.
Passo 2
Primeiro, montamos a receita e o custo total:
- Receita total diária:
. - Custo total diário: cada barril custa
, logo o custo total é :
Aí definimos a função lucro
= receita – custo total:
Passo 3
Agora, pra encontrar o máximo, usamos a teoria de derivadas: ponto crítico é onde
.
Calculemos :
Calculemos
A seguir, igualamos a zero e resolvemos pra
:
Passo 4
Pra garantir que isso é máximo e não mínimo, olhamos a segunda derivada:
Como
, o ponto crítico é um máximo.
Resposta
A produção que maximiza o lucro diário é de 1250 barris por dia.