Responda:
a) Em que situações o método de Lagrange pode ser mais vantajoso do que resolver a restrição diretamente?
b) O que significa geometricamente a condição \nabla f=\lambda \nabla g ?

Passo 1

O enunciado faz duas perguntas conceituais sobre o método dos multiplicadores de Lagrange, que pertence ao conteúdo de otimização de funções com restrições. Para responder, vamos lembrar que esse método busca extremos de uma função f(x,y,\dots) sujeita a uma restrição g(x,y,\dots)=0 sem precisar eliminar diretamente variáveis.

Passo 2

Para ver quando o método de Lagrange é mais vantajoso do que resolver a restrição diretamente, considere:
– Se a restrição g(x,y,\dots)=0 é não linear ou de grau alto, isolá-la para substituir em f pode gerar expressões muito complicadas ou múltiplos ramos.
– Em problemas com várias restrições ou em dimensões maiores (mais de duas variáveis), a eliminação direta exige resolver sistemas simultâneos de equações não lineares, o que tende a ser impraticável.
– Quando a região viável não é facilmente parametrizável (por exemplo, uma curva ou superfície implícita complexa), usar \nabla f=\lambda\nabla g permite encontrar candidatos a extremos sem parametrização explícita.

Passo 3

A condição \nabla f = \lambda \nabla g tem interpretação geométrica:
\nabla f é o vetor normal ao nível de f; \nabla g é o vetor normal à superfície (ou curva) definida por g=0.
– Quando esses vetores são colineares \nabla f paralelo a \nabla g, a direção de maior variação de f é ortogonal à superfície viável, ou seja, não há componente de \nabla f que permaneça tangente à restrição. Assim, qualquer movimento infinitesimal que respeite g=0 não altera f até primeira ordem, caracterizando um extremo sujeito à restrição.

Resposta

a) O método de Lagrange é mais vantajoso quando a restrição é não linear ou de difícil parametrização, em altas dimensões ou com várias restrições, pois evita isolar variáveis e lidar com expressões muito complexas.
b) Geometricamente, \nabla f=\lambda \nabla g significa que o vetor gradiente de f é paralelo ao gradiente de g, ou seja, a direção de maior variação de f é ortogonal à superfície (ou curva) definida por g=0, garantindo que não haja variação de f ao longo da restrição até primeira ordem.

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