Responda:
a) Em que situações o método de Lagrange pode ser mais vantajoso do que resolver a restrição diretamente?
b) O que significa geometricamente a condição
?
a) Em que situações o método de Lagrange pode ser mais vantajoso do que resolver a restrição diretamente?
b) O que significa geometricamente a condição
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas conceituais sobre o método dos multiplicadores de Lagrange, que pertence ao conteúdo de otimização de funções com restrições. Para responder, vamos lembrar que esse método busca extremos de uma função
sujeita a uma restrição
sem precisar eliminar diretamente variáveis.
Passo 2
Para ver quando o método de Lagrange é mais vantajoso do que resolver a restrição diretamente, considere:
– Se a restrição é não linear ou de grau alto, isolá-la para substituir em
pode gerar expressões muito complicadas ou múltiplos ramos.
– Em problemas com várias restrições ou em dimensões maiores (mais de duas variáveis), a eliminação direta exige resolver sistemas simultâneos de equações não lineares, o que tende a ser impraticável.
– Quando a região viável não é facilmente parametrizável (por exemplo, uma curva ou superfície implícita complexa), usar permite encontrar candidatos a extremos sem parametrização explícita.
– Se a restrição
– Em problemas com várias restrições ou em dimensões maiores (mais de duas variáveis), a eliminação direta exige resolver sistemas simultâneos de equações não lineares, o que tende a ser impraticável.
– Quando a região viável não é facilmente parametrizável (por exemplo, uma curva ou superfície implícita complexa), usar
Passo 3
A condição
tem interpretação geométrica:
– é o vetor normal ao nível de
;
é o vetor normal à superfície (ou curva) definida por
.
– Quando esses vetores são colineares paralelo a
, a direção de maior variação de
é ortogonal à superfície viável, ou seja, não há componente de
que permaneça tangente à restrição. Assim, qualquer movimento infinitesimal que respeite
não altera
até primeira ordem, caracterizando um extremo sujeito à restrição.
–
– Quando esses vetores são colineares
Resposta
a) O método de Lagrange é mais vantajoso quando a restrição é não linear ou de difícil parametrização, em altas dimensões ou com várias restrições, pois evita isolar variáveis e lidar com expressões muito complexas.
b) Geometricamente, significa que o vetor gradiente de
é paralelo ao gradiente de
, ou seja, a direção de maior variação de
é ortogonal à superfície (ou curva) definida por
, garantindo que não haja variação de
ao longo da restrição até primeira ordem.
b) Geometricamente,