Reflita sobre as afirmações abaixo, apresentando um contra-exemplo para cada afirmação falsa.
Para quaisquer matrizes quadradas A e B, tem-se det A B=det A det B

Passo 1

O enunciado pede que a gente verifique a afirmação
det(AB)=det(A),det(B)
para quaisquer matrizes quadradas A e B. Esse é um resultado clássico de Álgebra Linear, ligado ao comportamento do determinante como medida de “escala de volume” sob transformação linear.

Passo 2

Aqui vai um esboço de por que a igualdade sempre vale:
– Se uma das matrizes, digamos A, for singular, então det(A)=0. Nesse caso, a composição AB também é singular, logo det(AB)=0, e de fato
det(AB)=0=det(A),det(B),
– Se A e B forem invertíveis, podemos usar, por exemplo, a decomposição de A e B em permutações e transveções (ou usar a definição via somatório sobre permutações) para ver que a soma de termos do determinante de AB separa–se exatamente nos produtos dos termos de det(A) e de det(B). Formalmente, isso é provado via a expressão
det(C)=sumsigmain Snsgn(sigma),prodi=1^n Ci,sigma(i)
aplicada a C=AB. Dá certinho que cada produto de permutações de A se combina com um de B, resultando em det(A)det(B).

Passo 3

Como vimos, não há hipótese especial em que a propriedade falhe: tanto no caso singular quanto no caso invertível ela vale. Portanto não existe contra-exemplo.

Resposta

A afirmação é verdadeira para todas as matrizes quadradas; não há contra-exemplo.

Exercícios relacionados