Reflita sobre as afirmações abaixo, apresentando um contra-exemplo para cada afirmação falsa.
Para quaisquer matrizes quadradas
e
, tem-se
Para quaisquer matrizes quadradas
Passo 1
O enunciado pede que a gente verifique a afirmação
para quaisquer matrizes quadradas
e
. Esse é um resultado clássico de Álgebra Linear, ligado ao comportamento do determinante como medida de “escala de volume” sob transformação linear.
Passo 2
Aqui vai um esboço de por que a igualdade sempre vale:
– Se uma das matrizes, digamos , for singular, então
. Nesse caso, a composição
também é singular, logo
, e de fato
– Se uma das matrizes, digamos
– Se
e
forem invertíveis, podemos usar, por exemplo, a decomposição de
e
em permutações e transveções (ou usar a definição via somatório sobre permutações) para ver que a soma de termos do determinante de
separa–se exatamente nos produtos dos termos de
e de
. Formalmente, isso é provado via a expressão
aplicada a
. Dá certinho que cada produto de permutações de
se combina com um de
, resultando em
.
Passo 3
Como vimos, não há hipótese especial em que a propriedade falhe: tanto no caso singular quanto no caso invertível ela vale. Portanto não existe contra-exemplo.
Resposta
A afirmação é verdadeira para todas as matrizes quadradas; não há contra-exemplo.